Exponentialgleichungen

Inhalt des Themas


Potenzregeln, Exponentialfunktion
Zum Kennenlernen der Exponentialfunktionen beginnen wir am besten mit den Grundlagen: den Potenzregeln. Potenzieren ist eine coole Sache, und zum Einstieg reicht bereits folgende einfache Erkenntnis: Aber auch was danach kommt, ist kein Hexenwerk. Bei der ersten Potenzregel geht es darum, was passiert, wenn wir dies zum Beispiel mit 62 multiplizieren. Sehen wir es uns mal an. Wenn wir beide Zahlen miteinander multiplizieren, dann werden die Exponenten einfach addiert. Das ist unsere erste Potenzregel. POTENZREGELN Was passiert nun, wenn wir die eine Zahl durch die andere teilen? Ein kleines Problem gibt es hier aber noch. Und zwar: Wenn also der Exponent des Nenners größer ist, ist das Ergebnis ein Bruch. Und hier wird der Exponent eine negative Zahl sein. Wie können wir nun eine Potenzzahl potenzieren? Das geht so: Wir müssen die Exponenten miteinander multiplizieren. Sehen wir uns jetzt einmal Folgendes an: Was könnte das denn sein? Mal sehen, was passiert, wenn wir unsere neueste Potenzregel auch hier anwenden. Das muss also etwas sein, das ins Quadrat erhoben 9 ergibt. Das gibt es tatsächlich, und wir nennen es . Eine Bruchzahl als Exponent steht also für das Wurzelziehen. Wenn wir nun unsere ersten beiden Potenzregeln ein bisschen weiterdenken, erhalten wir eine dritte Regel. Nehmen wir mal diese Zahl: Hier können wir unsere Formel gleich anwenden. Jetzt noch ein Paar weitere Formeln, und schon kommen wir endlich zu den Funktionen. So sieht die Funktion 2x aus. Und das ist 3x. Wenn die Basis eine Zahl zwischen 2 und 3 ist, wird die Funktion zwischen 2x und 3x liegen. Eine solche Zahl wäre zum Beispiel 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995… Diese Zahl besitzt in der Mathematik eine geradezu magische Bedeutung und wurde der Einfachheit halber auf den Namen „e“ getauft. Somit heißt diese Funktion ex. Alle Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als 1 sehen so ähnlich aus. Funktionen mit einer Basis kleiner als 1 sind wiederum eine ganz andere Spezies.
Lösen von Exponentialgleichungen, Textaufgaben
Lösen von Exponentialgleichungen: Nun werden wir ein Paar ganz fantastische Exponentialgleichungen lösen. Hier ist auch schon die erste Gleichung: Das ist es, was wir immer im Hinterkopf haben müssen: Wichtig ist das natürlich nur, wenn wir eine solche Gleichung tatsächlich lösen wollen ... Mal sehen: Bingo! Das war es auch schon. Eine Sache noch. Bei diesem Schritt schreiben wir noch Folgendes hin: aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion Und schon kommt die nächste Herausforderung: Die beiden Potenzen haben nicht die gleiche Basis … aber wir geben nicht auf. Wie könnten wir nun diese Gleichung knacken: Und jetzt suchen wir uns etwas Spannenderes. Die Generationszeit einer Bakterienkultur soll 25 Minuten betragen. Das bedeutet, dass sich in dieser Zeit die Anzahl der Bakterien in der Kultur verdoppelt. Zu Beginn enthielt die Kultur 5 Milligramm Bakterien. Welches Gewicht hat die Kultur nach zwei Stunden? Wir zeichnen mal ein Diagramm. Mit dieser kleinen Formel können wir berechnen, wie schwer unsere Bakterien gerade sind: x steht hier für die Anzahl der abgelaufenen 25-Minuten-Einheiten. Wir betrachten einen Zeitraum von 2 Stunden, das heißt 120 Minuten: So viele Milligramm Bakterien haben wir also nach 120 Minuten. Eine andere Bakterienart hat eine Generationszeit von 12 Minuten – das heißt, alle 12 Minuten verdoppelt sich die Bakterienzahl. In einer Kultur messen wir nun 736 Milligramm Bakterien. Wie viel Zeit ist seit dem Zeitpunkt vergangen, als die Kultur nur 23 Milligramm wog? Die Geschichte geht also so: Zu Beginn gab es 23 Milligramm, und am Ende waren es 736: Aber x = 5 heißt nicht fünf Minuten … x = 5 bedeutet vielmehr, dass fünf Generationszeiten vergangen sind: Das sind 60 Minuten. Bei radioaktiven Substanzen gibt die Halbwertszeit an, in welcher Zeit sich die Anzahl der Kerne im radioaktiven Material halbiert. Bei Plutonium-239 beträgt zum Beispiel die Halbwertszeit 24.000 Jahre – bei Strontium-90 hingegen nur 25 Jahre. Diese supertolle Formel verrät uns, wie sich beim radioaktiven Zerfall die Anzahl der Kerne im Zeitverlauf ändert. Zugegeben, auf den ersten Blick eine ausgesprochen hässliche Formel. Aber wir werden gleich sehen, dass sie doch nicht so ganz schlimm ist. Wenn wir ein Gebiet haben, das mit Strontium-90 verseucht ist – um wie viel Prozent nimmt die Zahl der radioaktiven Kerne in 40 Jahren ab? Und um wie viel Prozent nimmt die Menge an Strontium-90 in 100 Jahren ab? Die Halbwertszeit von Strontium-90 beträgt 25 Jahre. Unsere Formel sieht also in etwa so aus: Wenn 40 Jahre vergangen sind, ersetzen wir t durch 40: Wir geben das mal in den Rechner ein … In 40 Jahren sinkt also die Anzahl der Strontium-90-Kerne auf 33%. Was passiert nun in 100 Jahren? Bei 100 Jahren tragen wir eben 100 für t ein: In 100 Jahren fällt also die Anzahl der radioaktiven Kerne auf 6,3%.
Interessante Exponentialgleichungen
Auf geht’s zu neuen Horrorgeschichten mit Exponentialgleichungen! Hier kommt schon die erste: Das wär’s. Sehen wir uns jetzt mal diese Gleichung an: So weit so gut … Es gibt aber auch Gleichungen, die auf den ersten Blick ziemlich schrecklich aussehen. Hier kommen einige weitere ganz exquisite Exponentialgleichungen. Fertig! Sehen wir uns nun etwas anderes an. Und jetzt wird es ein bisschen spannender. Da bietet es sich an, das Ganze mit 4x zu teilen. Die Spannung kann aber noch weiter gesteigert werden. Mal sehen, ob wir das hier lösen können: In Wirklichkeit ist dies eine quadratische Gleichung, die sich als Exponentialgleichung tarnt. Und dann gibt es noch die ganz kniffligen Fälle. Sehen wir uns mal einen an.
Kniffligere Exponentialgleichungen

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