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Differenzierbarkeit und Stetigkeit, beidseitige Ableitung

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Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.

Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.

In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.

Erstens muss die Funktion stetig sein.

Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …

Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.

ÜBERPRÜFUNG AUF STETIGKEIT

Wir berechnen den Grenzwert …

und den Funktionswert.

LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG

Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.

Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.

Die beiden sind anscheinend nicht gleich …

Die Funktion ist somit in diesem Punkt nicht differenzierbar.

Hier ist eine weitere Funktion.

Wir wollen sehen, ob sie im Punkt differenzierbar ist.

Die Funktion scheint im Punkt nicht stetig zu sein, und somit ist sie auch nicht differenzierbar.

Das ist zwar traurig, aber wir schauen uns gleich noch eine Funktion an, vielleicht haben wir damit mehr Glück.

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