Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Stellen wir uns einen Bergsteiger vor, der im Punkt P auf der Fläche steht und in die Richtung losläuft.

Die Richtungsableitung gibt an, wie steil es für den Bergsteiger nach oben geht.

Die Richtungsableitung lässt sich sehr einfach berechnen: Sie ist das Skalarprodukt aus Gradientvektor und dem Vektor mit der Länge 1.

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt :

( ist ein Einheitsvektor)

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an!

Berechnen wir die Richtungsableitung von in der Richtung im Punkt .

Die Richtungsableitung gemäß der Formel:

Das komische Zeichen ist das Ableitungssymbol. Ausgesprochen wird es als d oder del. Es gibt aber auch eine etwas freundlichere Bezeichnung für die Richtungsableitung: .

Zur Berechnung des Gradientvektors benötigen wir die partiellen Ableitungen.

Der Gradientvektor lautet also

So weit so gut.

Jetzt nehmen wir uns den Vektor vor.

Der Vektor in der Formel muss die Länge 1 haben.

Da jedoch nicht Einheitslänge hat,

müssen wir erst einen Einheitsvektor aus ihm machen.

Wir teilen ihn durch seine Länge:

Die Richtungsableitung lautet somit:

Wenn uns jetzt der Bergsteiger fragt, in welche Richtung er von Punkt P aus starten muss, um den steilsten Weg zu haben …

dann können wir ihm antworten.

Die Steigung der Fläche ist immer in Richtung des Gradientvektors am größten.

Der Bergsteiger nimmt also den steilsten Weg, wenn er in Richtung des Gradientvektors losläuft:

 

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