Definition konvergenter Folgen, Schwellenindex-Berechnung

Eine der wichtigsten Eigenschaften einer Folge ist, was mit ihr passiert, wenn wir immer weiter entfernte Glieder betrachten.

Index

Diese Folge nähert sich zum Beispiel der Zahl A an.

Diese Eigenschaft einer Folge nennen wir Konvergenz.

Die Mathematiker haben Hunderte Jahre an der Definition der Konvergenz gefeilt. Wir geben uns jetzt eine Minute dafür.

Die Folge ist konvergent und ihr Grenzwert ist die Zahl A, wenn wir für beliebig kleine einen Index finden können, ab dem der Abstand jedes nachfolgenden Glieds zur Zahl A kleiner als ist.

Das ist die Definition des Grenzwerts für Folgen.

Da Mathematiker jedoch an einfachen Formulierungen interessiert sind, lautet die endgültige Definition ein klein wenig anders.

Hier ist sie.

Was uns an dieser Definition zur Verzweiflung treibt, ist das hier.

Die Folge an ist konvergent und hat den Grenzwert A, wenn es zu jedem > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

........ für jedes .....

Aber keine Sorge. Die Bedingung

bedeutet einfach nur dies.

Dass also der Abstand zwischen und weniger als beträgt.

Wie lautet zum Beispiel das zu gehörige , wenn

Anscheinend ist die Folge weniger als von ihrem Grenzwert entfernt, wenn

Also ab dem siebten Glied, und somit ist .

Dann haben wir hier noch eine weitere interessante Folge.

Anscheinend ist die Folge dann weniger als von ihrem Grenzwert entfernt, wenn 2,78 < n.

Das heißt ab dem dritten Glied, und somit n0 = 2.