Monotonie von Folgen

Die Monotonieuntersuchung von Folgen ist, ihr ahnt es schon, eine ziemlich monotone Angelegenheit.

Allzu viel Spannung dürft ihr also nicht erwarten …

Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Glied größer als das vorangehende Glied ist.

Streng monoton steigend

Streng monoton fallend

Monoton steigend

Monoton fallend

Streng monoton fallend, wenn jedes Glied kleiner als das vorangehende Glied ist.

Monoton steigend, wenn jedes Glied größer oder gleich dem vorangehenden Glied ist.

Monoton fallend, wenn jedes Glied kleiner oder gleich dem vorangehenden Glied ist.

Untersuchen wir zum Beispiel die Monotonie dieser Folge.

Die Folge ist also streng monoton fallend.

Wir können dieses Ergebnis auch mithilfe eines Tricks bestimmen.

Hier ist er:

Hier machen wir eine kurze Denkpause.

Was passiert, wenn wir 4 durch immer größere Zahlen teilen?

Das natürlich.

streng monoton fallend

Und somit ist die gesamte Folge streng monoton fallend.

Sehen wir uns noch einen Fall an.

Die Folge ist streng monoton steigend.

Und jetzt sehen wir uns die Methode mit dem Trick an:

Wieder eine kurze Denkpause.

Was passiert, wenn wir 9/5 durch immer größere Zahlen teilen?

Durch das Minuszeichen bekommen wir allerdings einen streng monotonen Anstieg.

Und somit ist die gesamte Folge streng monoton steigend.

Hier kommt ein spannenderer Fall:

Das ist für jedes n negativ.

Die Folge ist also streng monoton fallend.

Und jetzt sehen wir uns die Methode mit dem Trick an:

Hier kommt ein spannenderer Fall:

Für ist der Zähler genau null.

Für ist er positiv.

Die Folge ist also monoton steigend.

Wir wollen sehen, wie der Trick hier funktioniert:

Gar nicht.

Das Problem ist, dass hier und gleichzeitig auftreten, und in einem solchen Fall versagt unser Trick …

Es gibt natürlich auch Folgen, die nicht monoton sind.

Leider werden sie davon auch nicht spannender.

Hier ist zum Beispiel diese Folge.

Solche Folgen nennen wir alternierende oder oszillierende Folgen.

Diese Folge oszilliert zum Beispiel um den Wert null:

wenn n ungerade ist

wenn n gerade ist