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Die partielle Integration (Fortsetzung) – S3

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Die partielle Integration wurde für das Integrieren von Produkten erfunden (und wird deshalb auch Produktintegration genannt).

„Partiell“ deswegen, weil wir das Produkt in seinen Teilen einzeln integrieren werden.

Wie läuft das genau ab?

Zuerst müssen wir die Rollen verteilen.

Ein Faktor spielt die Rolle des f, und der andere die Rolle des g'.

Eine Entscheidung per Münzwurf wäre wenig ratsam.

Zur richtigen Verteilung der Rollen brauchen wir eine zündende Idee.

Probieren wir es zuerst so.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

Die Rollenverteilung ist dann gelungen, wenn wir dieses Ziel erreichen.

Diesmal hat es nicht geklappt.

Das neue Integral ist komplizierter als das Original: Es enthält x² anstelle von x.

Was haben wir falsch gemacht?

Bei der Rollenverteilung gibt es ja ein f und ein g'.

f wird differenziert, g' integriert, und das Ergebnis kommt dann in das neue Integral.

Wenn x die Rolle des g' erhält, dann wird x integriert und bekommt so einen höheren Exponenten.

Wenn wir x die Rolle des f geben, dann wird x differenziert, und sein Exponent wird niedriger.

Niedriger ist besser für uns.

Wir müssen also die Rollen umgekehrt verteilen.

Bei dieser Rollenverteilung wird x nach dem Differenzieren zu 1.

ex lässt sich durch nichts erschüttern, er bleibt genauso ex wie vorhin.

Und schon haben wir unser Ziel erreicht: Das neue Integral ist tatsächlich einfacher.

Sehen wir uns noch eine Aufgabe an.

Aufgrund der bisherigen Erfahrungen scheint f=x2 die richtige Wahl zu sein.

Ziel erreicht: Wir haben aus einem komplizierten ein einfacheres Integral gemacht.

Aber es ist noch immer nicht einfach genug, also führen wir wieder eine partielle Integration durch.

Aus den bisherigen Aufgaben ist klar geworden, dass es sich lohnt, immer dem Ausdruck xn die Rolle des f zu geben.

Das notieren wir uns.

ROLLENVERTEILUNG:

Aber es wäre zu schön, wenn es keine Ausnahmen gäbe.

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Unsere Notizen empfehlen uns diese Rollenverteilung.

Nur führt das leider zu nichts. Wer es nicht glaubt, probiert es selber.

Wir kehren also die Rollenverteilung um.

Wir erweitern unsere Liste.

Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern:

Und noch etwas.

Hier sind einige Funktionen aus der Liste der Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern.

Versuchen wir mal, sie zu integrieren.

Wir brauchen einen kleinen Trick.

Wir führen eine partielle Integration durch. Wir nennen die Funktion gemäß unserer Liste f – und jetzt kommt der Trick: g'=1

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

In der vorherigen Bilderreihe haben wir gesehen, wie die partielle Integration funktioniert. Jetzt können wir ein paar richtig coole Aufgaben lösen.

Zum Beispiel diese:

=f · g- f f’·g

Und jetzt noch eine.

f f·g’ =f·g- f f’·g

Partielle Integration mit Rollenverteilung:

=f · g - f f’·g

Und die nächste Aufgabe:

Es gibt die Formel

Vorsicht mit der partiellen Integration, in großen Mengen kann sie schädlich sein.

Aber eine Aufgabe geht noch.

Es gibt diese Formel:

Und diese gibt es auch:

=f · g - f f’·g

Bei der partiellen Integration geht es also darum, ein komplexeres Integral in ein einfacheres zu verwandeln.

Die Überführung eines komplexen Integrals in ein einfacheres Integral nennen wir Reduktion.

Hier folgen einige Reduktionsformeln. Eigentlich ist es sinnlos, sich diese Formeln zu merken, denn wir können sie jederzeit wieder berechnen.

Sie helfen uns aber, einige besonders hartnäckige Integrale zu knacken.

Auf zum
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