Barion Pixel Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen | MATHEKING
 

Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

Text of slideshow

Stellen wir uns einen Bergsteiger vor, der im Punkt P auf der Fläche steht und in die Richtung losläuft.

Die Richtungsableitung gibt an, wie steil es für den Bergsteiger nach oben geht.

Die Richtungsableitung lässt sich sehr einfach berechnen: Sie ist das Skalarprodukt aus Gradientvektor und dem Vektor mit der Länge 1.

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt :

( ist ein Einheitsvektor)

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an!

Berechnen wir die Richtungsableitung von in der Richtung im Punkt .

Die Richtungsableitung gemäß der Formel:

Das komische Zeichen ist das Ableitungssymbol. Ausgesprochen wird es als d oder del. Es gibt aber auch eine etwas freundlichere Bezeichnung für die Richtungsableitung: .

Zur Berechnung des Gradientvektors benötigen wir die partiellen Ableitungen.

Der Gradientvektor lautet also

So weit so gut.

Jetzt nehmen wir uns den Vektor vor.

Der Vektor in der Formel muss die Länge 1 haben.

Da jedoch nicht Einheitslänge hat,

müssen wir erst einen Einheitsvektor aus ihm machen.

Wir teilen ihn durch seine Länge:

Die Richtungsableitung lautet somit:

Wenn uns jetzt der Bergsteiger fragt, in welche Richtung er von Punkt P aus starten muss, um den steilsten Weg zu haben …

dann können wir ihm antworten.

Die Steigung der Fläche ist immer in Richtung des Gradientvektors am größten.

Der Bergsteiger nimmt also den steilsten Weg, wenn er in Richtung des Gradientvektors losläuft:

 

Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

13
Auf zum
Tutorial Technische Mathematik 2.
Jetzt sind Sie dran. Lösen Sie die Aufgabe alleine und überprüfen Sie die Lösung anschließend in diesem Video!
Wir zeigen dir, wie die Seite funktioniert!
Entdecke die Welt der einfachen Mathematik!
  • Genial um Mathe zu lernen.

    Adam, 19
  • Es ist die beste klare, interpretierbare und nutzbare Lernmöglichkeit zum niedrigsten Preis.

    Ellen, 23
  • Mein Bruder in der siebten Klasse hat das Ableiten gelernt, was ein ziemlicher Beweis dafür ist, dass es klar erklärt wird.

    Georg, 18
  • Dank mathxplain habe ich alle meine College-Mathematikfächer erfolgreich abgeschlossen.

    Melina, 21
LoginaberRegistrieren Back arrow Alle Episoden
aus diesem Thema