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Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Die Antwort ist, dass es leider Funktionen gibt, die keine explizite Form haben.

Diese Funktion hat eine explizite Form, daher war hier der Aufwand für die implizite Ableitung tatsächlich nicht nötig.

Aber nehmen wir zum Beispiel dies hier:

Hier gibt es keine Möglichkeit, nach y aufzulösen, und somit sind wir auf die implizite Ableitung angewiesen.

Wir differenzieren also beide Seiten, dürfen dabei aber nicht vergessen, dass y hier eine Funktion ist.

So ist zum Beispiel eine verkettete Funktion.

Gemäß der Ableitungsregel für verkettete Funktionen:

Ableitung der äußeren Funktion

multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion

Knöpfen wir uns also diese implizite Ableitung vor.

Wir differenzieren beide Seiten der Gleichung:

Wir brauchen die Ableitung von y, also sammeln wir alle auf einer Seite und bringen alles Übrige auf die andere Seite:

Dann klammern wir aus.

Und schließlich teilen wir:

Das ist also die Ableitung unserer implizit definierten Funktion.

Sehen wir uns nun die Ableitungsregel für implizite Funktionen an.

Die Regel soll uns das Leben erleichtern.

Wenn eine implizite Funktion ist, dann lautet gemäß der Regel ihre Ableitung:

Das sieht zunächst nicht sehr ermutigend aus, aber probieren wir es mal in der Praxis aus.

Hier haben wir eine implizite Funktion:

Diese lösen wir nach null auf

und taufen sie auf den Namen F.

 

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