AUFGABE | Linear unabhängige und linear abhängige Vektoren

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Seien Vektoren im Raum . Welche Aussagen sind richtig?

a) Wenn linear unabhängig sind, dann sind es auch.

b) Wenn linear abhängig sind, dann sind es auch.

c) Wenn ein Erzeugendensystem sind, dann sind es auch.

d) Wenn linear unabhängig sind, dann sind es auch.

a) Wenn linear unabhängig sind,

dann sind auch linear unabhängig.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von , und haben.

Da die Vektoren linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

 

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