Erzeugendensystem und Basis

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Wenn wir jeden Vektor mal null nehmen, erhalten wir wenig überraschend den Nullvektor.

Interessanter ist, dass wir diesmal in keinem anderen Fall den Nullvektor bekommen.

Wenn wir beispielsweise vom ersten Vektor nicht die Menge null nehmen, erhalten wir mit Sicherheit keinen Nullvektor.

Probieren wir es aus. Nehmen wir zum Beispiel 6 davon.

Die erste Koordinate des zweiten und des dritten Vektors ist null, sodass sie den Wert der ersten Koordinate nicht beeinflussen. Die erste Koordinate ist also immer 6, ganz gleich, wie viel wir vom zweiten und dritten Vektor nehmen.

Wenn wir also den Nullvektor herausbekommen wollen, müssen wir den ersten Vektor unbedingt mal null nehmen.

Jetzt kommen wir zum zweiten Vektor. Wenn wir ihn nicht mal null nehmen, bekommen wir Probleme mit der zweiten Koordinate.

Der erste und der dritte Vektor haben nämlich keinen Einfluss auf den Wert der zweiten Koordinate.

Mit dem dritten Vektor verhält es sich ähnlich. Diese Vektoren sind also linear unabhängig.

Wir erhalten nur dann den Nullvektor, wenn wir jeden Vektor mal null nehmen.

Wir können uns natürlich fragen, warum es denn so wichtig ist, wie der Nullvektor aus verschiedenen Vektoren erzeugt werden kann. Bald bekommen wir eine Antwort auf diese Frage. Schauen wir uns dazu die nächste Bildreihe an.

In einem Vektorraum V bilden die Vektoren ein sogenanntes Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor im Vektorraum V in der Form erzeugt werden kann.

Nehmen wir zum Beispiel den Vektorraum , das heißt den Raum im alltäglichen Sinn des Wortes.

In diesem Vektorraum bilden

ein Erzeugendensystem, denn mit ihrer Hilfe kann jeder Vektor erzeugt werden.

Probieren wir es aus. Nehmen wir zum Beispiel den Vektor

Dieser kann tatsächlich aus den Vektoren erzeugt werden.

Jeder Vektor kann erzeugt werden. Zum Beispiel:

Und hier ist er auch schon:

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Erzeugendensystem und Basis

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