Rang eines Vektorsystems und andere Kuriositäten

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Wenn wir zu diesen Vektoren einen weiteren Vektor hinzunehmen, erhalten wir wieder ein Erzeugendensystem.

Nehmen wir zum Beispiel diesen hinzu:

Wenn wir den Vektor bisher erzeugen konnten, dann können wir das immer noch:

Wir nehmen den neuen Vektor einfach mal null, und dann ist es, als wäre er gar nicht da.

Wenn wir allerdings aus dem ursprünglichen Erzeugendensystem einen Vektor wegnehmen, dann ist das System kein Erzeugendensystem mehr.

Versuchen wir doch mal, den Vektor aus den verbleibenden zwei Vektoren zu erzeugen. Das wird nicht gehen.

Wir merken uns also: Wenn wir einem Erzeugendensystem weitere Vektoren hinzufügen, erhalten wir wieder ein Erzeugendensystem, wenn wir jedoch Vektoren entfernen, dann ist das nicht mehr so sicher.

Die Frage ist, wie viele Vektoren in linear unabhängig sein können und wie viele Vektoren ein Erzeugendensystem bilden können. Die folgende supernützliche Tabelle schafft Klarheit.

Zahl der

Vektoren

Können so viele Vektoren in

linear unabhängig sein?

Können so viele Vektoren in ein Erzeugendensystem bilden?

1

2

3

4

5

Ein einzelner Vektor kann mit Sicherheit so angegeben werden, dass er linear unabhängig ist, für ein Erzeugendensystem reicht er aber nicht aus.

Allein kann er nur eine Gerade erzeugen.

Auch zwei Vektoren können so angegeben werden, dass sie linear unabhängig sind, aber auch sie bilden noch kein Erzeugendensystem.

Diese beiden Vektoren spannen eine Ebene auf.

Das heißt, sie erzeugen alle Vektoren innerhalb der Ebene – aber keine darüber hinaus.

Auch drei Vektoren können noch so angegeben werden, dass sie linear unabhängig sind, und wie wir zuvor gesehen haben, bilden sie auch ein Erzeugendensystem.

Diese drei Vektoren spannen den Raum auf.

Nehmen wir jetzt einen vierten Vektor hinzu.

Da die bisherigen drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, können sie jeden beliebigen vierten Vektor erzeugen.

Dies bedeutet, dass die vier Vektoren jetzt nicht mehr linear unabhängig sind, aber immer noch ein Erzeugendensystem bilden.

Dasselbe gilt, wenn wir noch einen fünften Vektor hinzunehmen.

In können genau drei Vektoren so angeben werden, dass sie noch linear unabhängig sind, aber bereits ein Erzeugendensystem bilden.

Das linear unabhängige Erzeugendensystem nennen wir Basis.

Die Dimension des Vektorraums entspricht der Zahl der Elemente in der Basis. So kommen wir ganz wissenschaftlich zum Schluss, dass der Raum dreidimensional ist.

 

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