Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Mit diesem Wissen wollen wir jetzt die Ableitung dieser Funktion in berechnen.

Hier ist sie:

Die Ableitung der Funktion im Punkt ist also 9. Bezeichnung:

Berechnen wir die Ableitung der Funktion im Punkt .

Und jetzt noch die Ableitung im Punkt :

Wir haben hier eine wunderbare Funktion, und wir wollen herausfinden, ob sie im Punkt differenzierbar ist.

ha = wenn

Ein Blick auf den Graphen verrät, dass die Funktion in Wirklichkeit aus zwei Funktionen zusammengeflickt ist, die sich genau im Punkt treffen.

Das alleine wäre noch kein Problem, aber eine der beiden Funktionen hat eine andere Steigung im Punkt als die andere.

Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.

Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.

In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.

Erstens muss die Funktion stetig sein.

Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …

Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.

ÃœBERPRÃœFUNG AUF STETIGKEIT

Wir berechnen den Grenzwert …

und den Funktionswert.

LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG

Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.

Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.