- Komplexe Zahlen
- Folgen
- Schwellenindex und Monotonie
- Reihen
- Potenzreihen
- Grenzwert und Kontinuität einer Funktion
- Differenzieren
- Differenzierbarkeit und Tangentengleichung
- Regel von de l'Hospital, Taylorreihe, Taylorpolynom
- Determinante, Eigenwert, Eigenvektor
- Leichte Funktionsprüfung und Extremwertaufgaben
- Linear unabhängige und linear abhängige Vektoren
- Lineare Gleichungssysteme, inverse Matrix
- Matrizen und Vektoren
- Bestimmte Integration
- Unbestimmte Integration, Stammfunktion
- Funktionen mit zwei Variablen
Differenzierbarkeit und Tangentengleichung
Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.
Mit diesem Wissen wollen wir jetzt die Ableitung dieser Funktion in berechnen.
Hier ist sie:
Die Ableitung der Funktion im Punkt ist also 9. Bezeichnung:
Berechnen wir die Ableitung der Funktion im Punkt .
Und jetzt noch die Ableitung im Punkt :
Wir haben hier eine wunderbare Funktion, und wir wollen herausfinden, ob sie im Punkt differenzierbar ist.
ha = wenn
Ein Blick auf den Graphen verrät, dass die Funktion in Wirklichkeit aus zwei Funktionen zusammengeflickt ist, die sich genau im Punkt treffen.
Das alleine wäre noch kein Problem, aber eine der beiden Funktionen hat eine andere Steigung im Punkt als die andere.
Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.
Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.
In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.
Erstens muss die Funktion stetig sein.
Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …
Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.
ÜBERPRÜFUNG AUF STETIGKEIT
Wir berechnen den Grenzwert …
und den Funktionswert.
LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG
Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.
Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.
Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.
Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.
In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.
Erstens muss die Funktion stetig sein.
Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …
Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.
ÜBERPRÜFUNG AUF STETIGKEIT
Wir berechnen den Grenzwert …
und den Funktionswert.
LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG
Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.
Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.
Die beiden sind anscheinend nicht gleich …
Die Funktion ist somit in diesem Punkt nicht differenzierbar.
Hier ist eine weitere Funktion.
Wir wollen sehen, ob sie im Punkt differenzierbar ist.
Die Funktion scheint im Punkt nicht stetig zu sein, und somit ist sie auch nicht differenzierbar.
Das ist zwar traurig, aber wir schauen uns gleich noch eine Funktion an, vielleicht haben wir damit mehr Glück.
Die Funktion scheint im Punkt nicht stetig zu sein, und somit ist sie auch nicht differenzierbar.
Das ist zwar traurig, aber wir schauen uns gleich noch eine Funktion an, vielleicht haben wir damit mehr Glück.
Ist diese Funktion im Punkt differenzierbar?
Großartig – diese Funktion kann tatsächlich im Punkt differenziert werden.
Der Nervenkitzel geht weiter. Versuchen wir herauszufinden, für welchen Parameter A diese Funktion im Punkt differenzierbar ist.
Im Punkt ist leider keine Ableitung möglich.
Neuer Versuch. Lassen sich die Parameter A und B so wählen, dass diese Funktion im Punkt differenzierbar ist?
Geometrisch betrachtet entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente, die an den Graphen der Funktion angelegt wird.
Die Gleichung der Tangente:
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.
Hier ist diese Funktion:
Wir suchen die Gleichung der Tangente im Punkt .
Hier ist auch schon die Tangente:
Es wird Zeit für etwas Spannenderes.
Hier ist diese Funktion:
Wir suchen die Gleichung der Tangente im Punkt .
Hier ist auch schon die Tangente:
Es wird Zeit für etwas Spannenderes.
Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion im Punkt berührt.
Hier ist die Tangente:
Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion in einem Punkt mit einer negativen x-Koordinate und der y-Koordinate 24 berührt.
Was könnte jetzt noch kommen?
Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion berührt und zur Geraden parallel ist.
Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Steigung gleich ist.
Die Steigung der Tangente ist die Ableitung.
Die Steigung dieser anderen Geraden wiederum beträgt –27.
Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion im Punkt berührt.