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Integration trigonometrischer Funktionen – Substitution von tan(x/2)

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INTEGRATION TRIGONOMETRISCHER AUSDRÃœCKE

Trigonometrische Ausdrücke zu integrieren ist kein Spaziergang. Sehen wir uns jetzt mal einige einfachere Tricks und die wichtigsten Methoden an. Wir beginnen gleich mit einem der spannenderen Fälle.

u= tan(x/2) ist eines der eigenartigsten Beispiele für die Integration durch Substitution.

Verwendet wird diese Substitution dann, wenn der Bruch sowohl sinx als auch cosx nur in linearer Form enthält.

Die Substitution dreht sich um die folgenden drei Formeln:

Und jetzt folgen ein Paar magische Tricks.

Wer für Magie nichts übrig hat, kann diesen Teil einfach überspringen.

Wir beginnen mit einem kleineren Trick:

Jetzt folgt ein mittlerer Trick.

Und jetzt noch ein Abschlusstrick.

Und jetzt Schluss mit den Zaubertricks – das Ergebnis lautet

Eine Sache noch.

Bei der Substitution benötigen wir auch die Ableitung des aufgelösten x.

Dazu müssen wir erst nach x auflösen.

Wir kennen die Formel

Damit sind wir den Tangens los, und wir haben x.

Und die Ableitung noch dazu. Bekanntlich

Die gute Nachricht ist, dass wir dieses Martyrium nur einmal erdulden mussten.

Wenn wir uns diese Ergebnisse notieren, können wir in Zukunft jederzeit einfach nachschlagen.

Jetzt kommt eine Aufgabe.

Die Methode bewährt sich auch bei schwierigeren Fällen:

Wir zerlegen hier und da

und schon sind wir fertig.

So viel dazu.

Wenn α oder β ungerade ist, haben wir Glück gehabt.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an.

Den Term mit ungeradem Exponenten zerlegen wir in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann kommt ein kleiner Trick.

Zum Schluss multiplizieren wir und begrüßen einen alten Bekannten:

Wenn cosx einen höheren Exponenten hat, ist das auch kein Problem.

Wieder zerlegen wir den Term mit ungeradem Exponenten in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann brauchen wir diese binomische Kubikformel:

Und zum Schluss kommt wieder das:

Wenn sowohl α als auch β gerade sind, funktioniert diese Methode nicht.

Dann kommen die sogenannten Linearisierungsformeln zum Einsatz.

Sehen wir uns einen solchen Fall an.

Vielleicht erinnern wir uns noch daran:

Genau das werden wir jetzt einsetzen.

Die Schlange, die sich in den Schwanz beißt

Diese Fälle lösen wir mit partieller Integration und einigen Zaubertricks.

Sehen wir uns zum Beispiel das an:

Die Rollenverteilung ist hier beliebig. Das Ergebnis bleibt gleich, egal wie wir die Bezeichnungen wählen.

Eine weitere partielle Integration.

Und das ist nichts anderes als die ursprüngliche Aufgabe.

Wenn wir jetzt weiter integrieren, erhalten wir nach zweimaliger partieller Integration wieder die ursprüngliche Aufgabe zurück.

Und so weiter bis an unser Lebensende. Aber das wäre etwas langweilig, und so setzen wir lieber einen Trick ein.

Der Trick besteht darin, dass wir das bisherige Ergebnis in Form einer Gleichung aufschreiben.

Wir lösen die Gleichung.

Und jetzt eine weitere Aufgabe:

Wie lösen wir eigentlich eine Integrationsaufgabe?

Als Erstes müssen wir uns ein paar Fragen stellen.

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