Grenzwert und Kontinuität einer Funktion

Inhalt des Themas


Was ist ein Funktionsgrenzwert?

Grenzwertberechnung

Spannendere Grenzwerte

Probleme bei höhergradigen Ausdrücken

Stetigkeit

Arten von Unstetigkeiten

Trigonometrische Grenzwerte

Funktionsgrenzwert im Unendlichen

AUFGABE | Grenzwerte von Funktionen

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Jetzt kommt ein zusammenfassendes Beispiel, an dem alle wichtigen Schritte gut zu erkennen sind.

Eine schlechte Nachricht: Wir müssen mit einer Polynomdivision beginnen, denn der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die normale Division, die wir in der Grundschule gelernt haben.

Zum Beispiel 25:7=3, mit Rest 4.

Das heißt:

Genauso gehen wir auch bei der Polynomdivision vor.

Ergebnis                                           Rest

Jetzt kommt die Polynomdivision:

Alles klar soweit.

Aber wir sind noch nicht fertig.

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor,

und das Ganze ziehen wir vom Dividenden ab.

Dann dividieren wir wieder und wiederholen das so lange, bis schließlich der Grad des Dividenden den Grad des Divisors unterschreitet.

Aha, jetzt ist der Grad weit genug gesunken, und wir sind fertig.

Wir integrieren die ersten beiden Terme, und dann wenden wir uns dem Bruch zu, dessen Zähler jetzt einen kleineren Grad hat als der Nenner.

Wieder einmal müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Erst klammern wir x2 aus.

Dann schauen wir, ob der verbleibende quadratische Term in ein Produkt zerlegt werden kann. Es sieht nicht danach aus. Und zwar deswegen nicht, weil die Gleichung keine reelle Lösung hat.

x² lässt sich hingegen als Produkt ausdrücken.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung.

Wenn im Nenner ein linearer Ausdruck vom Typ ax+b im Quadrat auftaucht, dann gehen wir bei der Partialbruchzerlegung so vor:

Ein Partialbruch hat den Nenner ax+b,

und der andere hat den Nenner (ax+b)².

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Der erste Bruch hat einen linearen Nenner, der Zähler muss also irgendein A sein.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist ein linearer Ausdruck im Quadrat. Damit ist der Zähler auch hier irgendein A, aber da A bereits belegt ist, nehmen wir B.

Der dritte Bruch schließlich ist ein quadratischer Ausdruck. Der Zähler muss also vom Typ Ax+B sein. A und B sind belegt, also nehmen wir Cx+D.

Und jetzt rechnen wir A, B, C und D aus.

Wir multiplizieren mit den Nennern.

Dann lösen die Klammern auf.

Wir schauen, wie viele x3, x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Die ersten beiden Terme lassen sich sehr einfach integrieren.

Aus dem dritten Term wird das hier:

Der erste Term ist wie gewünscht f’/f, während der zweite Term zum Arkustangens wird.

Und schon sind wir fertig.

Zum Schluss noch ein Beispiel:

Wir müssen den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Die Zerlegung ist alles andere als trivial, denn der Nenner hat keine reelle Wurzel. Die Produktform:

Somit:

Die Terme im Nenner werden die Nenner der Partialbrüche sein. Da sich keiner der beiden quadratischen Terme zerlegen lässt, haben wir eine Summe von zwei Partialbrüchen vom Typ II vor uns:

Als Nächstes bestimmen wir A, B, C und D.

Wir multiplizieren:

dann formen wir um:

und zum Schluss lösen wir das gewohnte Gleichungssystem:

Die Lösungen: , somit

Wir werden die beiden Brüche einzeln integrieren.

Der erste Bruch:

Das läuft auf eine lineare Substitution von arctgx hinaus:

Der zweite Bruch aus Symmetriegründen:

Die Lösung der Aufgabe ist die Summe der erhaltenen Ausdrü height="41" src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image097.gif" />

Wir dürfen aber nicht vergessen, dass diese Methode – die Integration gebrochenrationaler Funktionen – nur dann sinnvoll ist, wenn alle anderen Methoden versagen. Die obige Aufgabe haben wir zum Beispiel mit Hilfe von S4 schon einmal gelöst – und zwar um einiges schneller!


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Jetzt kommt ein zusammenfassendes Beispiel, an dem alle wichtigen Schritte gut zu erkennen sind.

Eine schlechte Nachricht: Wir müssen mit einer Polynomdivision beginnen, denn der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die normale Division, die wir in der Grundschule gelernt haben.

Zum Beispiel 25:7=3, mit Rest 4.

Das heißt:

Genauso gehen wir auch bei der Polynomdivision vor.

Ergebnis                                           Rest

Jetzt kommt die Polynomdivision:

Alles klar soweit.

Aber wir sind noch nicht fertig.

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor,

und das Ganze ziehen wir vom Dividenden ab.

Dann dividieren wir wieder und wiederholen das so lange, bis schließlich der Grad des Dividenden den Grad des Divisors unterschreitet.

Aha, jetzt ist der Grad weit genug gesunken, und wir sind fertig.

Wir integrieren die ersten beiden Terme, und dann wenden wir uns dem Bruch zu, dessen Zähler jetzt einen kleineren Grad hat als der Nenner.

Wieder einmal müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Erst klammern wir x2 aus.

Dann schauen wir, ob der verbleibende quadratische Term in ein Produkt zerlegt werden kann. Es sieht nicht danach aus. Und zwar deswegen nicht, weil die Gleichung keine reelle Lösung hat.

x² lässt sich hingegen als Produkt ausdrücken.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung.

Wenn im Nenner ein linearer Ausdruck vom Typ ax+b im Quadrat auftaucht, dann gehen wir bei der Partialbruchzerlegung so vor:

Ein Partialbruch hat den Nenner ax+b,

und der andere hat den Nenner (ax+b)².

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Der erste Bruch hat einen linearen Nenner, der Zähler muss also irgendein A sein.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist ein linearer Ausdruck im Quadrat. Damit ist der Zähler auch hier irgendein A, aber da A bereits belegt ist, nehmen wir B.

Der dritte Bruch schließlich ist ein quadratischer Ausdruck. Der Zähler muss also vom Typ Ax+B sein. A und B sind belegt, also nehmen wir Cx+D.

Und jetzt rechnen wir A, B, C und D aus.

Wir multiplizieren mit den Nennern.

Dann lösen die Klammern auf.

Wir schauen, wie viele x3, x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Die ersten beiden Terme lassen sich sehr einfach integrieren.

Aus dem dritten Term wird das hier:

Der erste Term ist wie gewünscht f’/f, während der zweite Term zum Arkustangens wird.

Und schon sind wir fertig.

Zum Schluss noch ein Beispiel:

Wir müssen den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Die Zerlegung ist alles andere als trivial, denn der Nenner hat keine reelle Wurzel. Die Produktform:

Somit:

Die Terme im Nenner werden die Nenner der Partialbrüche sein. Da sich keiner der beiden quadratischen Terme zerlegen lässt, haben wir eine Summe von zwei Partialbrüchen vom Typ II vor uns:

Als Nächstes bestimmen wir A, B, C und D.

Wir multiplizieren:

dann formen wir um:

und zum Schluss lösen wir das gewohnte Gleichungssystem:

Die Lösungen: , somit

Wir werden die beiden Brüche einzeln integrieren.

Der erste Bruch:

Das läuft auf eine lineare Substitution von arctgx hinaus:

Der zweite Bruch aus Symmetriegründen:

Die Lösung der Aufgabe ist die Summe der erhaltenen Ausdrü height="41" src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image097.gif" />

Wir dürfen aber nicht vergessen, dass diese Methode – die Integration gebrochenrationaler Funktionen – nur dann sinnvoll ist, wenn alle anderen Methoden versagen. Die obige Aufgabe haben wir zum Beispiel mit Hilfe von S4 schon einmal gelöst – und zwar um einiges schneller!


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INTEGRATION TRIGONOMETRISCHER AUSDRÜCKE

Trigonometrische Ausdrücke zu integrieren ist kein Spaziergang. Sehen wir uns jetzt mal einige einfachere Tricks und die wichtigsten Methoden an. Wir beginnen gleich mit einem der spannenderen Fälle.

u= tan(x/2) ist eines der eigenartigsten Beispiele für die Integration durch Substitution.

Verwendet wird diese Substitution dann, wenn der Bruch sowohl sinx als auch cosx nur in linearer Form enthält.

Die Substitution dreht sich um die folgenden drei Formeln:

Und jetzt folgen ein Paar magische Tricks.

Wer für Magie nichts übrig hat, kann diesen Teil einfach überspringen.

Wir beginnen mit einem kleineren Trick:

Jetzt folgt ein mittlerer Trick.

Und jetzt noch ein Abschlusstrick.

Und jetzt Schluss mit den Zaubertricks – das Ergebnis lautet

Eine Sache noch.

Bei der Substitution benötigen wir auch die Ableitung des aufgelösten x.

Dazu müssen wir erst nach x auflösen.

Wir kennen die Formel

Damit sind wir den Tangens los, und wir haben x.

Und die Ableitung noch dazu. Bekanntlich

Die gute Nachricht ist, dass wir dieses Martyrium nur einmal erdulden mussten.

Wenn wir uns diese Ergebnisse notieren, können wir in Zukunft jederzeit einfach nachschlagen.

Jetzt kommt eine Aufgabe.

Die Methode bewährt sich auch bei schwierigeren Fällen:

Wir zerlegen hier und da

 und schon sind wir fertig.

So viel dazu.

Wenn α oder β ungerade ist, haben wir Glück gehabt.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an.

Den Term mit ungeradem Exponenten zerlegen wir in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann kommt ein kleiner Trick.

Zum Schluss multiplizieren wir und begrüßen einen alten Bekannten:

Wenn cosx einen höheren Exponenten hat, ist das auch kein Problem.

Wieder zerlegen wir den Term mit ungeradem Exponenten in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann brauchen wir diese binomische Kubikformel:

Und zum Schluss kommt wieder das:

Wenn sowohl α als auch β gerade sind, funktioniert diese Methode nicht.

Dann kommen die sogenannten Linearisierungsformeln zum Einsatz.

Sehen wir uns einen solchen Fall an.

Vielleicht erinnern wir uns noch daran:

Genau das werden wir jetzt einsetzen.

Die Schlange, die sich in den Schwanz beißt

Diese Fälle lösen wir mit partieller Integration und einigen Zaubertricks.

Sehen wir uns zum Beispiel das an:

Die Rollenverteilung ist hier beliebig. Das Ergebnis bleibt gleich, egal wie wir die Bezeichnungen wählen.

Eine weitere partielle Integration.

Und das ist nichts anderes als die ursprüngliche Aufgabe.

Wenn wir jetzt weiter integrieren, erhalten wir nach zweimaliger partieller Integration wieder die ursprüngliche Aufgabe zurück.

Und so weiter bis an unser Lebensende. Aber das wäre etwas langweilig, und so setzen wir lieber einen Trick ein.

Der Trick besteht darin, dass wir das bisherige Ergebnis in Form einer Gleichung aufschreiben.

Wir lösen die Gleichung.

Und jetzt eine weitere Aufgabe:

Wie lösen wir eigentlich eine Integrationsaufgabe?

Als Erstes müssen wir uns ein paar Fragen stellen.


Stetigkeit 2.0

Stetigkeit 3.0