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Matrizen

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Matrizen sind völlig harmlose mathematische Kreaturen.

Eine -Matrix ist eigentlich nichts anderes als eine Tabelle mit n Zeilen und k Spalten.

Matrizen kennzeichnen wir mit Großbuchstaben. Zum Beispiel:

Dies ist eine (2×3)-Matrix.

Die Elemente einer Matrix sind doppelt indiziert. Sie haben einen Zeilenindex

und einen Spaltenindex.

Die Elemente einer Matrix sind doppelt indiziert. Sie haben einen Zeilenindex

und einen Spaltenindex.

Eine -Matrix, die aus n Zeilen und k Spalten besteht,

sieht also ungefähr so aus:

Matrizen sind extrem nützlich. Eigentlich stehen sie in praktisch allen Themenbereichen der linearen Algebra im Mittelpunkt.

Bevor wir uns allerdings persönlich von ihrer Nützlichkeit überzeugen, wollen wir zunächst herausfinden, was wir alles mit ihnen machen können.

1. SKALIERUNG

Ein Skalar ist keine Krankheit, sondern eine Zahl, und zwar meist eine reelle Zahl.

2. ADDITION

Zu einer -Matrix können wir nur eine weitere -Matrix addieren.

3. MULTIPLIKATION

Das ist die interessanteste Operation.

Eine -Matrix kann nur mit einer -Matrix multipliziert werden.

Die Produktmatrix hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B. Ihre Elemente entstehen durch Multiplikation einer Zeile von A mit einer Spalte von B.

Und hier kommt ein Trick, der in der Fachsprache als Falksches Schema bekannt ist. Die Idee ist, die Matrizen „Ecke an Ecke“ anzuordnen, ungefähr so:

Und fertig ist das Produkt!

Eine interessante Eigenschaft der Matrizenmultiplikation ist, dass sie nicht kommutativ ist.

Wenn wir zum Beispiel versuchen, diese Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge durchzuführen, stellt sich heraus, dass dies gar nicht möglich ist.

Lernen wir jetzt einige spezielle Matrixtypen kennen.

QUADRATISCHE MATRIX

eine quadratförmige Matrix, hat also genauso viele Zeilen wie Spalten

Beispiel:

DIAGONALMATRIX

eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null sind

Beispiel:

Bei einer Diagonalmatrix ist also nur die Hauptdiagonale von Interesse, da alle anderen Elemente null sind.

Deshalb neigen manche dazu, nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen anzugeben. Dieses merkwürdige Gebilde ist zum Beispiel eine Diagonalmatrix.

EINHEITSMATRIX

eine Matrix I, die mit einer beliebigen Matrix multipliziert wieder A ergibt:

Die Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, die auf der Hauptdiagonalen nur Elemente vom Wert eins haben.

INVERSE MATRIX

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse) ist eine Matrix, für die gilt:

(rechte Inverse) (linke Inverse)

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