Matrizen und Vektoren

Inhalt des Themas


Matrizen

Matrizen sind völlig harmlose mathematische Kreaturen.

Eine -Matrix ist eigentlich nichts anderes als eine Tabelle mit n Zeilen und k Spalten.

Matrizen kennzeichnen wir mit Großbuchstaben. Zum Beispiel:

Dies ist eine (2×3)-Matrix.

Die Elemente einer Matrix sind doppelt indiziert. Sie haben einen Zeilenindex

und einen Spaltenindex.

Die Elemente einer Matrix sind doppelt indiziert. Sie haben einen Zeilenindex

und einen Spaltenindex.

Eine -Matrix, die aus n Zeilen und k Spalten besteht,

sieht also ungefähr so aus:

Matrizen sind extrem nützlich. Eigentlich stehen sie in praktisch allen Themenbereichen der linearen Algebra im Mittelpunkt.

Bevor wir uns allerdings persönlich von ihrer Nützlichkeit überzeugen, wollen wir zunächst herausfinden, was wir alles mit ihnen machen können.

1. SKALIERUNG

Ein Skalar ist keine Krankheit, sondern eine Zahl, und zwar meist eine reelle Zahl.

2. ADDITION

Zu einer -Matrix können wir nur eine weitere -Matrix addieren.

3. MULTIPLIKATION

Das ist die interessanteste Operation.

Eine -Matrix kann nur mit einer -Matrix multipliziert werden.

Die Produktmatrix hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B. Ihre Elemente entstehen durch Multiplikation einer Zeile von A mit einer Spalte von B.

Und hier kommt ein Trick, der in der Fachsprache als Falksches Schema bekannt ist. Die Idee ist, die Matrizen „Ecke an Ecke“ anzuordnen, ungefähr so:

Und fertig ist das Produkt!

Eine interessante Eigenschaft der Matrizenmultiplikation ist, dass sie nicht kommutativ ist.

Wenn wir zum Beispiel versuchen, diese Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge durchzuführen, stellt sich heraus, dass dies gar nicht möglich ist.

Lernen wir jetzt einige spezielle Matrixtypen kennen.

QUADRATISCHE MATRIX 

eine quadratförmige Matrix, hat also genauso viele Zeilen wie Spalten

Beispiel:

DIAGONALMATRIX

eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null sind

Beispiel:

Bei einer Diagonalmatrix ist also nur die Hauptdiagonale von Interesse, da alle anderen Elemente null sind.

Deshalb neigen manche dazu, nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen anzugeben. Dieses merkwürdige Gebilde ist zum Beispiel eine Diagonalmatrix.

EINHEITSMATRIX

eine Matrix I, die mit einer beliebigen Matrix  multipliziert wieder A ergibt:  

Die Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, die auf der Hauptdiagonalen nur Elemente vom Wert eins haben.

INVERSE MATRIX

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse)  ist eine Matrix, für die gilt:

  (rechte Inverse)         (linke Inverse)


Einige spezielle Matrizen

Beispiel:

DIAGONALMATRIX

eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null sind

Beispiel:

Bei einer Diagonalmatrix ist also nur die Hauptdiagonale von Interesse, da alle anderen Elemente null sind.

Deshalb neigen manche dazu, nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen anzugeben. Dieses merkwürdige Gebilde ist zum Beispiel eine Diagonalmatrix.

EINHEITSMATRIX

eine Matrix I, die mit einer beliebigen Matrix  multipliziert wieder A ergibt:  

Die Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, die auf der Hauptdiagonalen nur Elemente vom Wert eins haben.

INVERSE MATRIX

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse)  ist eine Matrix, für die gilt:

  (rechte Inverse)         (linke Inverse)

Wie wir später sehen werden, ist es gar nicht so einfach, die Inverse einer Matrix zu finden.

Bei den reellen Zahlen geht das Invertieren viel einfacher:

  hat die Inverse      denn 

  hat die Inverse      denn 

TRANSPONIERTE MATRIX

entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten einer Matrix; Bezeichnung  oder                                

ZEILE SPALTE  SPALTE ZEILE

Beispiel:

        oder       

Eine Matrix, die transponiert sich selbst ergibt, wird als symmetrische Matrix bezeichnet.

Das ist zum Beispiel eine symmetrische Matrix:

All dies mag nicht sehr spannend erscheinen, aber bald werden wir diese Kenntnisse dringend brauchen.

Und jetzt kommen wir zu den Vektoren!

Matrizen mit nur einer Spalte nennen wir Vektoren.

Vektoren bezeichnen wir mit unterstrichenen Kleinbuchstaben.

Hier sind zum Beispiel zwei Vektoren:

 ist ein -Vektor und  ist ein -Vektor, aber die Angabe von  ist überflüssig, denn sie heißen ja gerade deswegen Vektoren, weil sie nur eine Spalte haben.

Es reicht also vollkommen, wenn wir angeben, wie viele Zahlen der Vektor enthält. Diese Zahlen werden als Vektorkoordinaten bezeichnet.

Beruhigenderweise können wir feststellen, dass die soeben kennengelernte Vektordefinition kompatibel ist mit dem, was wir aus der Geometrie als Vektor kennen.

Wenn wir uns zum Beispiel drei Geraden im Raum vorstellen, die senkrecht zueinander stehen, und diese mit Skalen versehen, dann können die geometrischen Vektoren eindeutig als Zahlentripel ausgedrückt werden.

Wenn wir also von Vektoren sprechen, können wir gleichzeitig -Matrizen und   geometrische Formen meinen.

Sehen wir jetzt, welche Operationen mit Vektoren möglich sind.

OPERATIONEN MIT VEKTOREN

1. SKALIERUNG 

Beispiel:

2. ADDITION          

Beispiel:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

assoziativ:

3. MULTIPLIKATION 

Skalarprodukt:                                       dyadisches Produkt:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

nicht assoziativ:


Vektoren

OPERATIONEN MIT VEKTOREN

1. SKALIERUNG 

Beispiel:

2. ADDITION          

Beispiel:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

assoziativ:

3. MULTIPLIKATION 

Skalarprodukt:                                       dyadisches Produkt:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

nicht assoziativ:

Beispiel:

 und  

     und

Skalarprodukt:

dyadisches Produkt:

EIGENSCHAFTEN:

nicht kommutativ

nicht assoziativ

Beispiel:

 und

Dyadisches Produkt:

Von den beiden Multiplikationsarten wird uns das Skalarprodukt viel bessere Dienste leisten, deswegen verabschieden wir uns hier vom dyadischen Produkt.

Für das Skalarprodukt hingegen führen wir eine einfache Schreibweise ein.

Das erspart uns einige Sternchen.

Sehen wir jetzt, wozu das Skalarprodukt sonst noch gut ist.

Das Skalarprodukt von Vektoren zu berechnen ist nicht nur der reinste Spaß, sondern auch nützlich, denn so erhalten wir den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Das Skalarprodukt hat nämlich noch eine weitere Formel:

 ist hierbei der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

 d. h. Länge des Vektors

 d. h. Länge des Vektors

Um den Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, schreiben wir ihr Skalarprodukt mit beiden Methoden auf.

Nehmen wir zum Beispiel


Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

EIGENSCHAFTEN:

nicht kommutativ

nicht assoziativ

Beispiel:

 und

Dyadisches Produkt:

Von den beiden Multiplikationsarten wird uns das Skalarprodukt viel bessere Dienste leisten, deswegen verabschieden wir uns hier vom dyadischen Produkt.

Für das Skalarprodukt hingegen führen wir eine einfache Schreibweise ein.

Das erspart uns einige Sternchen.

Sehen wir jetzt, wozu das Skalarprodukt sonst noch gut ist.

Das Skalarprodukt von Vektoren zu berechnen ist nicht nur der reinste Spaß, sondern auch nützlich, denn so erhalten wir den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Das Skalarprodukt hat nämlich noch eine weitere Formel:

 ist hierbei der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

 d. h. Länge des Vektors

 d. h. Länge des Vektors

Um den Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, schreiben wir ihr Skalarprodukt mit beiden Methoden auf.

Nehmen wir zum Beispiel

Skalarprodukt mit der vorherigen Formel:

Skalarprodukt mit der neuen Formel:

Wir wollen mit den folgenden Matrizen und Vektoren einige Operationen durchführen.

Wir gehen schön der Reihe nach vor.


AUFGABE | Operationen mit Matrizen und Vektoren

Wir wollen mit den folgenden Matrizen und Vektoren einige Operationen durchführen.

Wir gehen schön der Reihe nach vor.

Hier gibt es ein kleines Problem.  ist nicht durchführbar.

Für das Potenzieren von Matrizen gibt es leider keine Tricks. Wenn wir also das Quadrat dieser Matrix berechnen wollen, müssen wir sie mit sich selbst multiplizieren.

Wenn wir die vierte Potenz berechnen müssten, säßen wir ganz schön lange dran.

Aber zum Glück brauchen wir hier nur das Quadrat.

Jetzt ist nur noch  übrig. Zu unserem Glück ist  eine Diagonalmatrix.

Und Diagonalmatrizen lassen sich einfach potenzieren: Wir potenzieren die Elemente auf der Hauptdiagonale einfach separat.

Leider funktioniert diese Methode nur bei Diagonalmatrizen – dort allerdings hervorragend.

Wenn wir die Matrix viermal hintereinander mit sich selbst multiplizieren, kommt natürlich dasselbe heraus, nur ein bisschen langsamer. Wer will, kann es gerne ausprobieren.