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In allen drei Fällen erhalten wir ein Produkt aus einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung, die wir separat lösen können.

Es gibt natürlich auch kubische Gleichungen, die schwieriger zu lösen sind, aber von diesen bleiben wir zum Glück meist verschont.

Schauen wir jetzt mal, welche der drei Methoden sich in unserem Fall bewährt.

Wir klammern 2 aus.

Die zweite Methode funktioniert hier nicht. Wir versuchen es also mit der trickreichen dritten Methode, vielleicht haben wir damit mehr Glück.

Wir lösen den quadratischen Teil auf, und dann versuchen wir, ihn in ein Produkt umzuformen.

Wir kennen die Formel

Zur Erinnerung:

Wir formen den quadratischen Teil in ein Produkt um

Wunderbar, jetzt können wir nämlich ausklammern:

Hier fassen wir noch zusammen, und schon haben wir die Lösung.

Es gibt drei Eigenwerte, oder eigentlich nur zwei, denn ist ein doppelter Eigenwert.

Jetzt sind wir bereit für die Eigenvektoren!

Wir lösen das Gleichungssystem wie gewohnt durch Basistransformation.

Sollten deine Erinnerungen an diese Methode schon etwas verblasst sein, kannst du sie gerne mit unseren Bildreihen zur Basistransformation auffrischen.

Wir setzen ein.

Wir lösen durch Basistransformation:

Hier ist Schluss mit der Basistransformation.

Wenn gleich zwei x oben bleiben,

nennen wir das eine t, das andere s.

Jetzt ist auch hier Schluss.

Hier ist nur ein x oben geblieben, und da und schon besetzt sind, nennen wir es .

Der Eigenvektor bei

wobei

Und

Wir lösen durch Basistransformation:

Der Eigenvektor bei

Wenn eine -Matrix linear unabhängige Eigenvektoren hat, kann die Matrix auf eine sogenannte Diagonalform gebracht werden.

Die Diagonalform sieht so aus:

 

Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3-Matrix

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