- Unbestimmte Integration, Stammfunktion
- Bestimmte Integration
- Differenzialgleichungen
- Matrizen und Vektoren
- Lineare Abbildungen
- Lineare Gleichungssysteme, inverse Matrix
- Determinante, Eigenwert, Eigenvektor
- Funktionen mit zwei Variablen
- Doppel- und Dreifachintegral
- Parametrische Kurven
- Vektorfelder, Kurven- und Flächenintegrale
Determinante, Eigenwert, Eigenvektor
MATRIZEN: DETERMINANTE, EIGENWERT UND EIGENVEKTOR
DEFINITION: Wenn eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante
p steht dabei für die Permutationen der Spaltenindizes und I(p) für die Inversionszahl dieser Permutationen.
Das ist eine ganz hervorragende Definition, sollte aber noch ein bisschen erläutert werden.
In Wirklichkeit ist das Konzept der Matrixdeterminante ganz einfach.
Es geht darum, dass wir aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element auswählen und diese Elemente miteinander multiplizieren. Wir machen das in jeder möglichen Kombination, dann versehen wir die Produkte mit einem Vorzeichen, und schließlich addieren wir die vorzeichenbehafteten Produkte.
DETERMINANTE EINER 2×2-MATRIX
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an. Hier ist eine Matrix:
Ihre Determinante ist
Die Determinante hat also die Eigenschaft, dass sie jede Matrix auf eine Zahl reduziert.
Bald erfahren wir auch, wozu das gut ist, aber zuerst wollen wir die Determinante einer 3×3-Matrix berechnen.
DETERMINANTE EINER 3×3-MATRIX
Die Determinante einer 3×3-Matrix können wir mit der sogenannten Regel von Sarrus berechnen.
Diese Regel funktioniert so, dass wir die Matrix einfach zweimal hintereinander aufschreiben und dann mit den Hauptdiagonalen und den Nebendiagonalen ein bisschen herumrechnen.
Wir multiplizieren die Elemente auf den Hauptdiagonalen und geben ihnen ein positives Vorzeichen. Dann multiplizieren wir auch die Elemente der Nebendiagonalen, allerdings bekommen diese ein negatives Vorzeichen.
Das ist die Determinante der Matrix.
Leider funktioniert die Methode nur bei 3×3-Matrizen und selbst da macht sie nur mäßig Spaß.
Sinnvoller ist es, wenn wir uns stattdessen den sogenannten Entwicklungssatz merken, der mit jeder n×n-Matrix klarkommt und den wir gleich kennenlernen werden.
DER ENTWICKLUNGSSATZ
Wenn eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante
ist hier die Unterdeterminante des Elements .
Keine Panik, in der Praxis funktioniert das viel einfacher.
Sehen wir uns gleich ein Beispiel an.
Hier ist diese 3×3-Matrix:
Wir wollen ihre Determinante berechnen, und zwar entwickeln wir sie nach der ersten Zeile.
Wir können sie aber genauso gut nach der zweiten Zeile entwickeln. Gleich machen wir das auch und vergleichen dann die Ergebnisse, die hoffentlich identisch sein werden.
Die Elemente der ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen, und zwar durch
Noch einfacher wird es, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.
Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!
Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das zweite Element ein negatives Vorzeichen.
Das dritte Element erhält dann wieder ein positives Vorzeichen.
Nun kommen die Unterdeterminanten. Diese bekommen wir, indem wir die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.
Dann berechnen wir die Determinanten der resultierenden 2×2-Matrizen.
Das war’s.
Was wird wohl passieren, wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln?
Wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln, müssen wir uns auch bei der Schachbrettregel an die zweite Zeile halten.
Wir können aber auch nach der dritten Zeile oder sogar nach Spalten entwickeln.
Das wollen wir gleich ausprobieren und entwickeln nach der dritten Spalte.
DER ENTWICKLUNGSSATZ
Beim Entwicklungssatz geht es im Grunde darum, dass die Berechnung der Determinante einer beliebig großen -Matrix – eine elendige Rechnerei – auf die Determinantenberechnung von -Matrizen zurückgeführt wird, was wesentlich leichter zu handhaben ist.
Der Satz selbst macht zwar einen etwas schroffen Eindruck, aber mit einem Beispiel lässt er sich leicht zähmen.
Sehen wir uns gleich das Beispiel an!
Hier ist diese 4×4-Matrix:
Wir berechnen ihre Determinante, und zwar entwickeln wir sie nach der zweiten Zeile.
Wir können auch nach der ersten Zeile entwickeln und machen das auch gleich, aber am Ergebnis wird sich nichts ändern.
Die Elemente der zweiten ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen durch
Einfacher ist es aber, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.
Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.
Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!
Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.
Das zweite Element bekommt ein Pluszeichen.
Vor das dritte Element kommt wieder ein Minuszeichen – das Element ist übrigens von Haus aus negativ.
Das dritte Element bekommt dann wieder ein positives Vorzeichen.
Nun sind die Unterdeterminanten dran. Diese bekommen wir, indem wir immer die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.
Dann berechnen wir der Reihe nach die einzelnen Unterdeterminanten. Das wird ein bisschen dauern.
Wir bringen ein wenig Spannung in die Sache, indem wir nach der ersten Zeile entwickeln.
Jetzt kommt wieder das Schachbrettmuster.
Wir berechnen jetzt die nächste Unterdeterminante.
Wir könnten zum Beispiel nach der dritten Zeile entwickeln,
aber wir können ja auch nach Spalten entwickeln.
Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.
Wir können aber auch nach der dritten Zeile entwickeln,
noch spannender ist es aber, nach Spalten zu entwickeln.
Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.
Jetzt folgt die nächste 3×3-Determinante.
Wir können nach einer beliebige Zeile oder Spalte entwickeln,
oder aber wir setzen einen kleinen Zaubertrick ein.
Das hat sich bewährt, also machen wir es mit der letzten verbleibenden Determinante genauso.
Damit haben wir die Determinante der ursprünglichen 4×4-Matrix auch schon berechnet!
Wir hätten statt nach der zweiten Zeile zum Beispiel auch nach der vierten Spalte entwickeln können. Machen wir das doch gleich mal!
Wir rechnen und rechnen …
und tatsächlich kommt wieder 0 heraus!
DIE DETERMINANTE DER MATRIX IST NULL, WENN
sie eine Zeile hat, die nur Nullen enthält
sie zwei identische Zeilen hat
eine Zeile das Vielfache einer anderen Zeile ist
eine Zeile die Linearkombination anderer Zeilen ist
all dies gilt auch für Spalten
WENN DIE MATRIX SO AUS DER MATRIX ERZEUGT WIRD, DASS
alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit multipliziert werden,
alle Elemente aller Zeilen mit multipliziert werden,
zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden
zu einer Zeile oder Spalte die Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten addiert wird
Wir werden jetzt spannende Dinge über Matrixdeterminanten erfahren.
Es gibt einige besondere Matrizen, deren Determinante wir ohne jede Schinderei berechnen können. So zum Beispiel die sogenannten unteren oder oberen Dreiecksmatrizen.
Ihre Determinante ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.
Die Einheitsmatrix ist auch eine Dreiecksmatrix.
Die Determinanten haben zudem verschiedene interessante Eigenschaften.
Zu diesen Eigenschaften sehen wir uns jeweils ein Beispiel an.
Schließlich gibt es noch einen wichtigen Lehrsatz: den Multiplikationssatz für Determinanten:
Wenn wir im Lehrsatz statt wieder einsetzen
und sogar
Und wenn die Matrix eine Inverse hat, dann gilt gemäß dem Multiplikationssatz
SINGULÄRE UND REGULÄRE MATRIZEN
Die -Matrizen unterteilen wir in zwei große Gruppen: diejenigen, deren Determinante null ist, und diejenigen, die eine von null verschiedene Determinante haben.
Dieser scheinbar kleine Unterschied führt in Wirklichkeit zu einer großen Kluft zwischen den beiden Gruppen.
DIE MATRIX IST REGULÄR
ES EXISTIERT EINE INVERSE MATRIX
RANG=n
Das Vektorsystem aus den Spaltenvektoren von ist linear unabhängig
Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung
Das homogene lineare Gleichungssystem hat nur eine Lösung (die triviale Lösung)
DIE MATRIX IST SINGULÄR
ES EXISTIERT KEINE INVERSE MATRIX
RANG<n
Das Vektorsystem aus den Spaltenvektoren von ist linear abhängig
Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine
Das homogene lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
Hier ist zum Beispiel diese Matrix:
Bestimmen wir, für welchen Parameter die Matrix eine Inverse hat, für welchen Parameter ihre Determinante 0 ist, und für welchen Parameter das Gleichungssystem
unendlich viele Lösungen hat.
Wir können alle Fragen auf einen Schlag beantworten, wenn wir die Determinante der Matrix berechnen.
Eine Inverse gibt es dann, wenn die Matrix regulär ist, wenn ihre Determinante also nicht null ist:
Die Determinante ist dann null, wenn
Und schließlich hat das Gleichungssystem dann unendlich viele Lösungen, wenn die Matrix singulär ist, das heißt wenn ihre Determinante null ist:
EIGENWERT UND EIGENVEKTOR
Jetzt folgen zwei spannende Definitionen, die einander sehr ähnlich sind. Gemeinsam ist ihnen auch, dass man sich erst mal fragt, wozu sie eigentlich gut sind.
EIGENWERT: Der Eigenvektor der Matrix ist ein von Null verschiedener Vektor , für den es eine reelle Zahl gibt, sodass Folgendes gilt:
EIGENVEKTOR: Der Eigenwert der Matrix ist eine reelle Zahl , für die es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor gibt, sodass Folgendes gilt:
Aber keine Sorge, ein konkretes Beispiel macht alles viel klarer.
Wir haben hier diese wundervolle -Matrix:
Wir wollen jetzt wissen, ob zum Beispiel die Vektoren und Eigenvektoren dieser Matrix sind.
Wir beginnen mit dem Vektor . Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl geben, für die
Ein solches gibt es aber leider nicht.
Wenn nämlich , dann stimmt die 9 nicht, und wenn , dann stimmt die 3 nicht.
Wir können es natürlich auch mit weiteren Zahlen probieren. Dann bekommen wir weder 3 noch 9 heraus. Somit ist also der Vektor kein Eigenvektor der Matrix .
Sehen wir uns jetzt den Vektor an. Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl geben, für die
Ein solches gibt es tatsächlich: . Der Vektor ist also ein Eigenvektor der Matrix , und der dazugehörige Eigenwert ist . Als Nächstes gehen wir der Frage nach, wie wir alle Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix finden können.
Wir werden eine allgemeingültige Methode zur Berechnung von Eigenvektoren und Eigenwerten entwickeln, deren Kern darin besteht, dass
Wir lösen nach null auf.
Wir klammern den Vektor aus.
Hier gibt es ein kleines Problem.
ergibt nicht viel Sinn, denn das eine ist eine Matrix, und das andere eine Zahl, wie wollen wir da subtrahieren?
Wir müssen daher wieder in die Trickkiste greifen.
Der Trick besteht darin, dass wir die Einheitsmatrix I zur Hilfe rufen. Für jeden Vektor gilt ja:
Wir schmuggeln hier also die Einheitsmatrix hinein
Jetzt können wir tatsächlich korrekt ausklammern.
Was wir hier haben, ist nichts anderes als ein Gleichungssystem in der Form .
ist mit Sicherheit eine Lösung, und es gibt noch andere Lösungen, wenn .
Wir interessieren uns jetzt gerade für diese anderen Lösungen, wenn
Wir müssen also herausfinden, wann ist.
In unserem Fall also
Das ist eine Gleichung, die wir lösen müssen, und die Lösungen der Gleichung sind genau die gesuchten Eigenwerte.
Wenn wir die resultierenden Eigenwerte hier einsetzen, bekommen wir die Eigenvektoren.
Aber alles schön der Reihe nach!
Berechnen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix .
1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG
Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null. Das ist die charakteristische Gleichung.
Wir subtrahieren:
Wir multiplizieren die Einheitsmatrix mit λ:
2. DIE EIGENWERTE
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.
3. DIE EIGENVEKTOREN
Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer Koordinaten, das zu lösende Gleichungssystem sieht also ungefähr so aus:
Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.
1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG
Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null.
2. DIE EIGENWERTE
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.
3. DIE EIGENVEKTOREN
Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer Koordinaten.
Wir müssen dieses Gleichungssystem lösen:
Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.
Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab,
dann entwickeln wir die Determinante:
Die resultierende Gleichung ist die charakteristische Gleichung.
Die Lösungen der Gleichung sind die Eigenwerte:
und
Welche Eigenvektoren gehören jetzt zu diesen Eigenwerten? Da eine -Matrix ist, haben die Eigenvektoren zwei Koordinaten:
Suchen wir jetzt die dazugehörigen Eigenvektoren.
Die zwei Eigenwerte haben wir schon: und
Jetzt gibt es zwei Eigenwerte, also haben wir zwei Gleichungssysteme.
Bei einem ist , und beim anderen ist
Bei einem Gleichungssystem ist , und beim anderen ist
Wir lösen das Gleichungssystem durch Basistransformation. Sollten deine Erinnerungen diesbezüglich schon etwas verblasst sein, kannst du deine Kenntnisse im gleichnamigen Themenbereich auf lockere Weise auffrischen.
Die Eigenvektoren:
Der zweite Eigenvektor ist nicht weniger spannend:
Die Basistransformation ist damit beendet, und wir können die Lösungen ablesen.
Die oben gebliebenen nennen wir t und s.
Sehen wir uns die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser -Matrix an.
Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:
Die Elemente der ersten Zeile werden mit abwechselnden Vorzeichen versehen.
Wir entwickeln auch die 2x2-Determinanten.
Dann fassen wir ein wenig zusammen. Das ist jetzt aber ordentlich einfacher geworden.
Irgendwie müssen wir diese Gleichung lösen, denn ihre Lösungen sind die Eigenwerte.
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.
Vorausgesetzt, wir können die Gleichung überhaupt lösen.
Hier sind drei nützliche Tipps zum Lösen solcher Gleichungen:
das konstante Glied entfällt
In allen drei Fällen erhalten wir ein Produkt aus einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung, die wir separat lösen können.
Es gibt natürlich auch kubische Gleichungen, die schwieriger zu lösen sind, aber von diesen bleiben wir zum Glück meist verschont.
Schauen wir jetzt mal, welche der drei Methoden sich in unserem Fall bewährt.
Wir klammern 2 aus.
Die zweite Methode funktioniert hier nicht. Wir versuchen es also mit der trickreichen dritten Methode, vielleicht haben wir damit mehr Glück.
Wir lösen den quadratischen Teil auf, und dann versuchen wir, ihn in ein Produkt umzuformen.
Wir kennen die Formel
Zur Erinnerung:
Wir formen den quadratischen Teil in ein Produkt um
Wunderbar, jetzt können wir nämlich ausklammern:
Hier fassen wir noch zusammen, und schon haben wir die Lösung.
Es gibt drei Eigenwerte, oder eigentlich nur zwei, denn ist ein doppelter Eigenwert.
Jetzt sind wir bereit für die Eigenvektoren!
Wir lösen das Gleichungssystem wie gewohnt durch Basistransformation.
Sollten deine Erinnerungen an diese Methode schon etwas verblasst sein, kannst du sie gerne mit unseren Bildreihen zur Basistransformation auffrischen.
Wir setzen ein.
Wir lösen durch Basistransformation:
Hier ist Schluss mit der Basistransformation.
Wenn gleich zwei x oben bleiben,
nennen wir das eine t, das andere s.
Jetzt ist auch hier Schluss.
Hier ist nur ein x oben geblieben, und da und schon besetzt sind, nennen wir es .
Der Eigenvektor bei
wobei
Und
Wir lösen durch Basistransformation:
Der Eigenvektor bei
Wenn eine -Matrix linear unabhängige Eigenvektoren hat, kann die Matrix auf eine sogenannte Diagonalform gebracht werden.
Die Diagonalform sieht so aus:
Die Hauptdiagonale enthält die Eigenwerte, und alle anderen Elemente sind null.
Die Diagonalform wird wie folgt erzeugt:
Hier ist – das heißt, wir nehmen einfach die Eigenvektoren und schreiben sie hintereinander auf.
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.
Bringen wir diese -Matrix auf Diagonalform.
1. CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG AUFSCHREIBEN
Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab, und wir nehmen ihre Determinante:
Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:
2. DIE LÖSUNGEN DER CHARAKTERISTISCHEN GLEICHUNG SIND DIE EIGENWERTE
Es gibt jetzt drei Eigenwerte: , und .
Wir suchen zu allen drei Eigenwerten den entsprechenden Eigenvektor.
3. EIGENVEKTOREN ZU DEN EIGENWERTEN ERMITTELN
Die Eigenvektoren erhalten wir, indem wir das Gleichungssystem lösen:
Wir lösen die Gleichungssysteme durch Basistransformation.
Wer in Sachen Basistransformation nicht mehr ganz fit ist, kann sich den entsprechenden Teil gern noch einmal vornehmen.
Die Basistransformation kann nicht fortgesetzt werden, wir können nicht herunterholen, also nennen wir es .
Wir lesen die Lösung ab.
Der zum Eigenwert gehörende Eigenvektor:
wobei
Und jetzt zu den restlichen Eigenvektoren. Wir müssen wieder das Gleichungssystem lösen:
Wir setzen ein.
Wir lösen durch Basistransformation:
Der zum Eigenwert gehörende Eigenvektor:
wobei
und
Wir lösen durch Basistransformation:
Der zum Eigenwert gehörende Eigenvektor:
wobei
Es scheint drei unabhängige Eigenvektoren zu geben, das heißt, wir können die Matrix diagonalisieren. Die diagonalisierende Matrix ist
Die ursprüngliche Matrix wird mithilfe der diagonalisierenden Matrix auf Diagonalform gebracht:
Es wäre jedoch überflüssig, die Multiplikationen durchzuführen, denn die Diagonalform sieht immer so aus, dass die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen und alle anderen Elemente null sind.
Die Eigenwerte kennen wir schon:
Die Diagonalform lautet also:
Als Nächstes lernen wir ein paar unterhaltsame Begriffe zum Thema Matrizen kennen.
Der erste Begriff lautet führender Hauptminor (auch als Hauptabschnittsdeterminante bekannt).
Hier ist eine Matrix:
Der erste führende Hauptminor ist diese 2 hier.
Der zweite führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.
Und der dritte führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.
Die Berechnung ist ziemlich langweilig, aber mit dem Entwicklungssatz kommen wir auf …
Der vierte Hauptminor schließlich ist die Determinante der gesamten Matrix.
Diese zu berechnen ist noch langweiliger, aber der Entwicklungssatz ergibt …
Das zweite höchst interessante Konzept ist die Definitheit von Matrizen.
Zum Feststellen der Definitheit brauchen wir die Hauptminoren, die wir gerade kennengelernt haben, genauer gesagt ihre Vorzeichen.
In unserem aktuellen Beispiel ist der erste führende Hauptminor positiv, der zweite ebenfalls, und der dritte ist negativ.
Wie sieht es dann mit der Definitheit aus?
Die -Matrix ist
positiv definit,
wenn
negativ definit,
wenn
positiv semidefinit,
wenn
negativ semidefinit,
wenn
indefinit,
wenn
Die -Matrix ist positiv definit, wenn
jeder Eigenwert :
jeder Eigenwert :
jeder Eigenwert :
jeder Eigenwert :
die Eigenwerte und existieren
und
Bei -Matrizen kann die Definitheit auch anhand der führenden Hauptminoren bestimmt werden:
beide führenden Hauptminoren positiv
erster negativ, zweiter positiv
erster positiv, zweiter null
erster negativ, zweiter null
in allen anderen Fällen
Bei -Matrizen ist es schon schwieriger, die Definitheit anhand der führenden Hauptminoren zu bestimmen:
alle Hauptminoren positiv
abwechselnd – + – +
und mit Minus beginnend
Wenn und nicht die beiden genannten Fälle vorliegen, ist die Matrix mit Sicherheit indefinit.
Wenn , dann ist keine Aussage möglich, die Definitheit kann nur durch Berechnung der Eigenwerte bestimmt werden.
Sehen wir uns jetzt einige Matrizen an und bestimmen wir ihre Definitheit.
Bestimmen wir die Definitheit dieser Matrizen.
Die Eigenwerte berechnen wir nur als letzten Ausweg, wenn uns die führenden Hauptminoren nicht weiterbringen. Beginnen wir mit .
Erster führender Hauptminor:
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Alle führenden Hauptminoren der Matrix sind positiv, also ist die Matrix positiv definit.
Schauen wir jetzt die Matrix an.
Erster führender Hauptminor:
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Hier brauchen wir wieder den Entwicklungssatz, aber ich will niemanden damit langweilen – das Ergebnis ist –15
Die führenden Hauptminoren von haben wechselnde Vorzeichen: – + – + – … die Matrix ist also negativ definit.
Jetzt ist dran.
Erster führender Hauptminor:
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Wieder Entwicklungssatz, aber wir machen es kurz, das Ergebnis ist 1.
Auch hier haben die führenden Hauptminoren wechselnde Vorzeichen, aber die Reihenfolge ist jetzt + – +
Für negative Definitheit muss die Reihe mit Minus beginnen, diese Matrix ist also schon mal nicht negativ definit.
Aber auch nicht positiv definit, denn dazu müssten alle führenden Hauptminoren positiv sein. Die verbleibenden Möglichkeiten sind damit semidefinit (positiv/negativ) und indefinit.
Bei semidefiniten Matrizen ist allerdings die Determinante null.
Hier ist – ganz klar nicht null, also indefinit.
Die Matrix kann wegen der führenden Hauptminoren nicht positiv oder negativ definit sein, und wegen auch nicht semidefinit, sie muss also indefinit sein.
Schauen wir schließlich, wie es sich mit verhält.
Erster führender Hauptminor:
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Schlimmer hätte es gar nicht kommen können.
Wenn die Determinante null ist, dann ist die Matrix entweder positiv/negativ semidefinit oder indefinit – aber das können wir nur entscheiden, wenn wir ihre Eigenwerte berechnen.
Wenden wir uns also den Eigenwerten zu.
Wir entwickeln die Determinante nach der untersten Zeile.
Das Ganze hier ist null, also können wir es gleich weglassen.
Wir können nichts ausklammern, also lösen wir die Klammern auf.
Dann fassen wir zusammen,
und schließlich klammern wir aus.
Die Eigenwerte:
Wir klammern 3 aus
Bei jedem Eigenwert ist die Bedingung erfüllt, somit ist die Matrix positiv semidefinit.
Auch hier gibt es drei unterschiedliche Eigenwerte, und da zu unterschiedlichen Eigenwerten immer auch unterschiedliche Eigenvektoren gehören, haben wir drei linear unabhängige Eigenvektoren.
Somit ist auch diagonalisierbar.
Sehen wir uns die ähnlichen Matrizen an!
Drei Matrizen entstammen derselben Abbildung und sind nur in verschiedenen Basen dargestellt, die vierte Matrix hingegen ist unterschiedlich.
Wenn eine symmetrische -Matrix ist und ein Vektor in , dann wird der Ausdruck
quadratische Form genannt.
Diese quadratischen Formen sind sehr umgängliche Geschöpfe. Sehen wir uns gleich ein Beispiel dazu an.
Nehmen wir zum Beispiel
und
Die dazugehörige quadratische Form ist
Rechnen wir das aus. Wir müssen multiplizieren, und wir beginnen von hinten.
Jetzt multiplizieren wir noch diese beiden.
Dann lösen wir die Klammern auf.
Das ist die quadratische Form.
Quadratisch heißt sie deswegen, weil sie immer ein homogen-quadratischer Ausdruck ist. Dies bedeutet, dass die x-Werte entweder im Quadrat vorkommen, oder aber linear, aber multipliziert mit einem anderen linearen Glied, was wiederum als quadratisch gilt.
Sehen wir uns noch eine weitere quadratische Form an.
und
ist jetzt eine -Matrix, und somit hat auch der Vektor 3 Koordinaten.
Die Multiplikationen durchzuführen wäre aber eine ziemliche Quälerei, zumal wir jetzt eine -Matrix vor uns haben.
Zum Glück kennen wir einen Trick. Er ist eigentlich gar nicht so raffiniert.
Die quadratische Form sieht ungefähr so aus: Sie wird enthalten, dann noch und , und es wird auch gemischte Glieder geben.
Die Frage ist nur, wie viele es davon jeweils gibt. Die Antwort gibt uns die Matrix .
Und schon sind wir fertig.
Die Sache funktioniert auch andersherum: Wenn wir eine quadratische Form haben, können wir daraus ihre Matrix erzeugen.
Das passt auch schon:
Wir haben hier eine quadratische Form:
Wir wollen zwei Vektoren finden,
einen Vektor , für den
und einen Vektor , für den
Ein Vektor, für den die quadratische Form positiv ist, findet sich leicht.
Einen zu finden, für den sie negativ wird, ist schon schwieriger, aber nicht unmöglich.
Dann haben wir hier noch eine weitere quadratische Form:
Wir wollen zwei Vektoren finden,
einen Vektor , für den
und einen Vektor , für den
Auch hier ist es leicht, einen Vektor zu finden, für den die quadratische Form positiv ist.
Auf einen negativen Wert zu kommen ist schon schwieriger.
Probieren wir es mal damit:
Das ist nicht nur schwierig, sondern sogar unmöglich.
Diese quadratische Form kann also positiv und negativ sein.
Diese quadratische Form hingegen kann nur negativ sein.
Wir werden uns nun mit diesen interessanten Eigenschaften der quadratischen Formen beschäftigen.
Die Form ist
positiv definit, wenn für jeden Vektor
gilt:
negativ definit, wenn für jeden Vektor
gilt:
positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor
gilt:
negativ semidefinit, wenn für jeden Vektor
gilt:
indefinit, wenn es und gibt,
für die gilt: und
Bei der Bestimmung der Definitheit hilft uns die Matrix der quadratischen Form.
wenn die Matrix der quadratischen Form positiv definit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form negativ definit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form positiv semidefinit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form negativ semidefinit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form indefinit ist
Wir haben hier eine quadratische Form, und wir wollen ihre Definitheit bestimmen.
Sehen wir uns die Matrix an!
Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.
Dazu sehen wir uns die führenden Hauptminoren an.
Erster führender Hauptminor:
3
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
ganz klar 13
Es scheint sich um eine positiv definite Matrix zu handeln, und somit ist auch die quadratische Form positiv definit.
Sehen wir uns einen weiteren Fall an.
Wir haben hier eine andere quadratische Form, deren Definitheit wir bestimmen wollen.
Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.
Dazu brauchen wir die führenden Hauptminoren.
Erster führender Hauptminor:
–5
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Das scheint eine negativ definite Matrix zu sein, und somit ist auch die quadratische Form negativ definit.