Wir müssen daher wieder in die Trickkiste greifen.

Der Trick besteht darin, dass wir die Einheitsmatrix I zur Hilfe rufen. Für jeden Vektor gilt ja:

Wir schmuggeln hier also die Einheitsmatrix hinein

Jetzt können wir tatsächlich korrekt ausklammern.

Was wir hier haben, ist nichts anderes als ein Gleichungssystem in der Form .

ist mit Sicherheit eine Lösung, und es gibt noch andere Lösungen, wenn .

Wir interessieren uns jetzt gerade für diese anderen Lösungen, wenn

Wir müssen also herausfinden, wann ist.

In unserem Fall also

Das ist eine Gleichung, die wir lösen müssen, und die Lösungen der Gleichung sind genau die gesuchten Eigenwerte.

Wenn wir die resultierenden Eigenwerte hier einsetzen, bekommen wir die Eigenvektoren.

Aber alles schön der Reihe nach!

Berechnen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix .

1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null. Das ist die charakteristische Gleichung.

Wir subtrahieren:

Wir multiplizieren die Einheitsmatrix mit λ:

2. DIE EIGENWERTE

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.

3. DIE EIGENVEKTOREN

Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Eigenvektoren.

Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer Koordinaten, das zu lösende Gleichungssystem sieht also ungefähr so aus:

Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null.

2. DIE EIGENWERTE

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.

3. DIE EIGENVEKTOREN

Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Eigenvektoren.

Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer Koordinaten.

Wir müssen dieses Gleichungssystem lösen:

Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils ab,

dann entwickeln wir die Determinante:

Die resultierende Gleichung ist die charakteristische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Eigenwerte:

und

Welche Eigenvektoren gehören jetzt zu diesen Eigenwerten? Da eine -Matrix ist, haben die Eigenvektoren zwei Koordinaten:

Suchen wir jetzt die dazugehörigen Eigenvektoren.

Die zwei Eigenwerte haben wir schon: und