Oberflächenintegral von Vektorfeldern; Fluss

Schon die alten Wikinger wussten: Der Fluss ist das höchste Gut.

Die Wikinger waren geradezu vernarrt in den Fluss, denn dieser war der Garant für munteres Schippern.

Der Fluss gibt an, wie viel Material oder Energie durch eine gegebene Fläche strömt.

Im Falle der Wikinger war das der Wind.

Und die erfahrensten Wikingerskipper wussten noch etwas Wichtiges.

Der Fluss hängt auch vom Winkel zwischen Fläche und Flussrichtung ab.

Je kleiner dieser Winkel ist, desto geringer ist der Fluss.

Und ein geringer Fluss hat eine negative Wirkung auf die Geschwindigkeit des Schiffes.

Der Fluss ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren des Vektorfeldes und der Normalenvektoren der Fläche.

Wenn diese senkrecht zueinander stehen, ist der Fluss null.

Und je paralleler sie zueinander sind …

desto größer ist der Fluss.

Aber es gibt hier noch etwas.

Diese Fläche ist jetzt nach rechts gerichtet.

Wenn wir die Richtung der Fläche umdrehen …

wirkt sich das auf den Fluss wie eine Multiplikation mit –1 aus.

Das heißt, dass wir bei der Berechnung des Flusses immer wissen müssen, wie die Fläche gerichtet ist.

Schon die alten Wikinger wussten das, wie dieser weise Spruch zeigt:

Kommt der Wind von vorn, fährt das Schiff nach hinten.

Und jetzt wird es Zeit, zu erfahren, wie wir all dies berechnen können.

Der Fluss ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren des Vektorfeldes und der Normalenvektoren der Fläche.

Für die gesamte Fläche lässt sich das mit einem wunderbaren Integral berechnen.

Und so erhalten wir das Oberflächenintegral des Vektorfeldes.

Schauen wir mal, wie groß der Fluss bei den Vikingern ist.

Der Wind weht an jedem Punkt des Vektorfeldes gleichmäßig.

Die Beschreibung dieser Fläche ist nicht ganz so einfach.

Diese Punkte sollen die Ecken des Segels sein:

Und jetzt sehen wir uns die Parametrierung der Fläche an.

Die x-Koordinate ist überall gleich.

Die y-Koordinate liegt zwischen –4 und 4.

Hier brauchen wir ein u.

Und die z-Koordinate liegt zwischen 1 und 9.

Und jetzt auf zum Integrieren.

Die x-, y- und z-Koordinaten der Fläche setzen wir in das Vektorfeld ein.

Den Normalenvektor der Fläche erhalten wir durch vektorielle Multiplikation:

Das ist ein Teil des Vektorprodukts.

Der Ableitungsvektor nach t der parametrisierten Fläche.

Der andere Teil ist der Ableitungsvektor nach u.

Vielleicht erinnern wir uns noch, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

Obwohl, auf das Gedächtnis ist nicht immer Verlass …

… besonders wenn es um solche Formeln geht.

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile …

Und schon haben wir das Kreuzprodukt.

Jetzt wird integriert.

Hier ist das Vektorfeld v(x,y,z), in das die Koordinatenfunktionen der Oberfläche einzusetzen sind.

Es ist nichts zu sehen, weil alle drei Koordinatenfunktionen des Vektorfeldes konstant sind.

Das heißt, sie enthalten kein x, y und z, und so ist kein Einsetzen möglich.

Zum Schluss fehlt nur noch das Skalarprodukt …

Das Ergebnis ist deswegen negativ, weil der Normalenvektor des Segels gegen den Wind gerichtet ist.

Würde der Normalenvektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen, wäre das Ergebnis 320 statt –320.

Verständlich, denn die Windrichtung würde dann genau der Richtung der Oberfläche entsprechen.

So viel zum Thema Schifffahrt.

Integral des Vektorfeldes v(x, y, z) über die Fläche S

Jetzt kommen wir zu ein paar hoch spannenden Beispielen.

Integrieren wir dieses Vektorfeld über die Kurve r(t).

Statt eines Flächenintegrals müssen wir hier also ein Kurvenintegral berechnen.

Und zwar entlang dieser großartigen dreidimensionalen Kurve.

In unserer Formel geht es allerdings um zweidimensionale Kurven.

Das wird also nicht ganz unproblematisch …