Vektorfelder, Kurven- und Flächenintegrale

Bei der Arbeit mit Vektorfeldern gibt es eine wichtige Regel: nicht den Kopf verlieren.

Eigentlich sind Vektorfelder etwas ganz Alltägliches. Sehen wir uns gleich ein Beispiel an.

Was wir hier sehen, ist der Atlantik, und auf See weht immer ein Wind.

Wenn wir an jedem Punkt des Ozeans die Geschwindigkeit und Richtung des Windes angeben, erhalten wir ein Vektorfeld.

Dies ist eine Funktion, die jedem Punkt einer Ebene einen Vektor zuordnet.

Der Einfachheit halber soll der Wind in jedem Punkt mit 5 km/h in Richtung Westen wehen.

Die Funktion ordnet also jedem Punkt (x, y) den gleichen Vektor zu.

Natürlich weht der Wind nicht nur direkt oberhalb der Meeresoberfläche, sondern auch weiter oben …

Wir werden also auch eine z-Koordinate brauchen.

Aber für den Anfang wollen wir uns mit zwei Dimensionen begnügen.

In der Ebene haben wir ein -Vektorfeld.

Wenn sich der Wind dreht …

erhalten wir ein anderes Vektorfeld.

Spannend wird es dann, wenn Richtung und Geschwindigkeit des Windes von den Koordinaten des jeweiligen Punktes abhängen.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Vektorfeld:

Wie wird dieses Feld wohl aussehen?

Beginnen wir am Äquator, bei y=0.

Bei y=0 erhalten wir diesen Windgeschwindigkeitsvektor.

Bei y=1 erhalten wir den Windgeschwindigkeitsvektor …

Jetzt kommen wir zu y=2. Wir erhalten

Und jetzt zu y=3.

Hier ist

Das ist unser Vektorfeld.

Wer in Geo aufgepasst hat …

… weiß, dass es in Wirklichkeit eher so aussieht.

Damit sind wir auch bei einer der spannendsten Fragen angekommen, die wir uns bei der Untersuchung eines Vektorfeldes stellen können.

Wie kann es sein, dass hier die Luft nur hineinströmt?

Was passiert dort mit ihr?

Und wie ist es möglich, dass die Luft hier nur herausströmt?

Bevor einer denkt, dass er sich in eine Geostunde verirrt hat, wollen wir euch beruhigen, dass es hier weiter um Vektorfelder gehen wird.

Aber auf dieses geographische Phänomen mussten wir einfach hinweisen, denn es ist einfach zu interessant.

Das Rätsel der Luftmassen, die aus dem Nichts kommen und am Äquator ins Nichts verschwinden, hat natürlich eine Lösung …

Am Äquator strömt die Luft nach oben.

Und bei den Wendekreisen strömt sie nach unten.

Am Äquator ist der Luftdruck also niedrig, denn die Luft strömt nach oben und „verschwindet“.

An den Wendekreisen ist der Luftdruck hoch, die Luft strömt herab und „taucht wieder auf“.

Von oben betrachtet können wir Verschiedenes erkennen… 

In manchen Regionen ist die Luft divergent, sie strömt also auseinander.

Und in manchen Regionen ist die Luft konvergent – sie strömt zusammen.

Wie wir sehen werden, ist diese sogenannte Divergenz eine der spannendsten Eigenschaften von Vektorfeldern.

Aber erst wollen wir sehen, auf welchem Weg Kolumbus nach Amerika gesegelt ist …

Auf seiner ersten Reise nach Amerika nahm Kolumbus noch diesen Weg.

Aber bei seinen späteren Reisen nahm er einen anderen Weg, denn er hatte etwas entdeckt.

Und zwar, wie man Vektorfelder entlang einer Kurve integriert.

Quatsch.

Er hatte entdeckt, dass man von der Arbeit, die der Passatwind leistet, viel mehr abgreifen kann, wenn die Route einen kleineren Winkel mit dem Wind bildet.

Diese Arbeit ist nämlich das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor des Windes und dem Geschwindigkeitsvektor des Schiffes.

Je kleiner dieser Winkel ist, desto mehr Arbeit leistet der Wind.

Das wird langsam zu viel Physik hier, also gehen wir alles Schritt für Schritt durch.

Der Passatwind lässt sich durch ein Vektorfeld beschreiben. So sieht es aus:

Und die Route von Kolumbus ist eine parametrische Kurve.

Äh, nicht ganz.

Entlang dieser Kurve hätte er niemals Amerika entdeckt.

Und das ist es auch nicht:

Die Route von Kolumbus soll ein einfacher Weg von A nach B sein.

Beim Auslaufen ist t=0.

Und bei der Ankunft ist t=8.

Die x-Koordinate der Reise ist also:

Und die y-Koordinate ist …

 bei

 bei

Wir denken nach …

Die durch den Wind geleistete Arbeit ist das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor des Windes und dem Geschwindigkeitsvektor des Schiffes.

Und der Geschwindigkeitsvektor ist, wie wir vielleicht noch wissen, die Ableitung der Kurve.

Die durch den Wind geleistete Arbeit:

Wir können dies für die gesamte Dauer des Schipperns berechnen, indem wir diese Skalarprodukte über die gesamte Strecke zusammenzählen.

Ein lustiges Integral hilft uns dabei.

In unserem Fall geht es von 0 bis 8.

Das Integral des Vektorfeldes  entlang der Kurve  von  bis :

Berechnen wir für diese Kurve das Integral entlang der Kurve:

Über diesem Vektorfeld.

Wenn alles gut geht und wir zu einem Ergebnis kommen, dann haben wir berechnet, wie viel Arbeit der Passatwind leistet, wenn wir auf diesem Kreisbogen von Afrika nach Südamerika segeln.

Und jetzt kommt etwas Spannenderes.

Hier ist dieses Vektorfeld:

Berechnen wir sein Integral auf dieser Kurve:

Hier ist die Formel:

Und schon geht es weiter mit neuen Tipps zur nautischen Navigation.

Oberflächenintegral von Vektorfeldern; Fluss

Schon die alten Wikinger wussten: Der Fluss ist das höchste Gut.

Die Wikinger waren geradezu vernarrt in den Fluss, denn dieser war der Garant für munteres Schippern.

Der Fluss gibt an, wie viel Material oder Energie durch eine gegebene Fläche strömt.

Im Falle der Wikinger war das der Wind.

Und die erfahrensten Wikingerskipper wussten noch etwas Wichtiges.

Der Fluss hängt auch vom Winkel zwischen Fläche und Flussrichtung ab.

Je kleiner dieser Winkel ist, desto geringer ist der Fluss.

Und ein geringer Fluss hat eine negative Wirkung auf die Geschwindigkeit des Schiffes.

Der Fluss ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren des Vektorfeldes und der Normalenvektoren der Fläche.

Wenn diese senkrecht zueinander stehen, ist der Fluss null.

Und je paralleler sie zueinander sind …

desto größer ist der Fluss.

Aber es gibt hier noch etwas.

Diese Fläche ist jetzt nach rechts gerichtet.

Wenn wir die Richtung der Fläche umdrehen …

wirkt sich das auf den Fluss wie eine Multiplikation mit –1 aus.

Das heißt, dass wir bei der Berechnung des Flusses immer wissen müssen, wie die Fläche gerichtet ist.

Schon die alten Wikinger wussten das, wie dieser weise Spruch zeigt:

Kommt der Wind von vorn, fährt das Schiff nach hinten.

Und jetzt wird es Zeit, zu erfahren, wie wir all dies berechnen können.

Der Fluss ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren des Vektorfeldes und der Normalenvektoren der Fläche.

Für die gesamte Fläche lässt sich das mit einem wunderbaren Integral berechnen.

Und so erhalten wir das Oberflächenintegral des Vektorfeldes.

Schauen wir mal, wie groß der Fluss bei den Vikingern ist.

Der Wind weht an jedem Punkt des Vektorfeldes gleichmäßig.

Die Beschreibung dieser Fläche ist nicht ganz so einfach.

Diese Punkte sollen die Ecken des Segels sein:

Und jetzt sehen wir uns die Parametrierung der Fläche an.

Die x-Koordinate ist überall gleich.

Die y-Koordinate liegt zwischen –4 und 4.

Hier brauchen wir ein u.

Und die z-Koordinate liegt zwischen 1 und 9.

Und jetzt auf zum Integrieren.

Die x-, y- und z-Koordinaten der Fläche setzen wir in das Vektorfeld ein.

Den Normalenvektor der Fläche erhalten wir durch vektorielle Multiplikation:

Das ist ein Teil des Vektorprodukts.

Der Ableitungsvektor nach t der parametrisierten Fläche.

Der andere Teil ist der Ableitungsvektor nach u.

Vielleicht erinnern wir uns noch, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

Obwohl, auf das Gedächtnis ist nicht immer Verlass …

… besonders wenn es um solche Formeln geht.

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile …

Und schon haben wir das Kreuzprodukt.

Jetzt wird integriert.

Hier ist das Vektorfeld v(x,y,z), in das die Koordinatenfunktionen der Oberfläche einzusetzen sind.

Es ist nichts zu sehen, weil alle drei Koordinatenfunktionen des Vektorfeldes konstant sind.

Das heißt, sie enthalten kein x, y und z, und so ist kein Einsetzen möglich.

Zum Schluss fehlt nur noch das Skalarprodukt …

Das Ergebnis ist deswegen negativ, weil der Normalenvektor des Segels gegen den Wind gerichtet ist.

Würde der Normalenvektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen, wäre das Ergebnis 320 statt –320.

Verständlich, denn die Windrichtung würde dann genau der Richtung der Oberfläche entsprechen.

So viel zum Thema Schifffahrt.

Integral des Vektorfeldes v(x, y, z) über die Fläche S

Jetzt kommen wir zu ein paar hoch spannenden Beispielen.

Integrieren wir dieses Vektorfeld über die Kurve r(t).

Statt eines Flächenintegrals müssen wir hier also ein Kurvenintegral berechnen.

Und zwar entlang dieser großartigen dreidimensionalen Kurve.

In unserer Formel geht es allerdings um zweidimensionale Kurven.

Das wird also nicht ganz unproblematisch …

Hier ist dieses Vektorfeld:

Integrieren wir es über diese Kurve:

Besonders spannend wird es nicht …

Jetzt kommt das Skalarprodukt …

Und zum Schluss integrieren wir noch ein bisschen.

Hier ist das nächste Vektorfeld. Dreidimensional, damit es nicht langweilig wird.

Integrieren wir es über diese Kurve:

Nun, das ist eine räumliche Kurve …

Folglich hat sie drei Koordinaten.

Kein Problem, dann aktualisieren wir halt unsere Formeln …

Wenn wir uns die Mühe machen und substituieren, stellt sich heraus, dass das Integral genau null ist.

Auf den ersten Blick erscheint das vielleicht etwas seltsam, aber bald werden wir noch andere aufregende Entdeckungen machen …

Hier ist dieses Vektorfeld:

Integrieren wir es über diese Fläche:

Die übliche parametrische Form der Fläche:

Statt uns mit t und u abzuplagen, bleiben wir lieber bei x und y.

Jetzt kann das Integrieren kommen.

Da wir statt t und u lieber x und y verwendet haben, können wir das Vektorfeld direkt hier einsetzen.

Hier ist der Normalenvektor der Fläche:

Und weil es so viel Spaß macht, integrieren wir das Vektorfeld auch über diese Kurve:

Das sieht viel freundlicher aus …

Das war’s.

Hier ist das Vektorfeld v(x,y,z), in das die Koordinatenfunktionen der Oberfläche einzusetzen sind.

Es ist nichts zu sehen, weil alle drei Koordinatenfunktionen des Vektorfeldes konstant sind.

Das heißt, sie enthalten kein x, y und z, und so ist kein Einsetzen möglich.

Zum Schluss fehlt nur noch das Skalarprodukt …

Das Ergebnis ist deswegen negativ, weil der Normalenvektor des Segels gegen den Wind gerichtet ist.

Würde der Normalenvektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen, wäre das Ergebnis 320 statt –320.

Verständlich, denn die Windrichtung würde dann genau der Richtung der Oberfläche entsprechen.

So viel zum Thema Schifffahrt.

Integral des Vektorfeldes v(x, y, z) über die Fläche S

Jetzt kommen wir zu ein paar hoch spannenden Beispielen.

Integrieren wir dieses Vektorfeld über die Kurve r(t).

Die durch den Wind geleistete Arbeit ist das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor des Windes und dem Geschwindigkeitsvektor des Schiffes.

Und der Geschwindigkeitsvektor ist, wie wir vielleicht noch wissen, die Ableitung der Kurve.

Die durch den Wind geleistete Arbeit:

Wir können dies für die gesamte Dauer des Schipperns berechnen, indem wir diese Skalarprodukte über die gesamte Strecke zusammenzählen.

Ein lustiges Integral hilft uns dabei.

In unserem Fall geht es von 0 bis 8.

Das Integral des Vektorfeldes  entlang der Kurve  von  bis :

Berechnen wir für diese Kurve das Integral entlang der Kurve:

Über diesem Vektorfeld.

Wenn alles gut geht und wir zu einem Ergebnis kommen, dann haben wir berechnet, wie viel Arbeit der Passatwind leistet, wenn wir auf diesem Kreisbogen von Afrika nach Südamerika segeln.