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DER ENTWICKLUNGSSATZ

Beim Entwicklungssatz geht es im Grunde darum, dass die Berechnung der Determinante einer beliebig großen -Matrix – eine elendige Rechnerei – auf die Determinantenberechnung von -Matrizen zurückgeführt wird, was wesentlich leichter zu handhaben ist.

Der Satz selbst macht zwar einen etwas schroffen Eindruck, aber mit einem Beispiel lässt er sich leicht zähmen.

Sehen wir uns gleich das Beispiel an!

Hier ist diese 4×4-Matrix:

Wir berechnen ihre Determinante, und zwar entwickeln wir sie nach der zweiten Zeile.

Wir können auch nach der ersten Zeile entwickeln und machen das auch gleich, aber am Ergebnis wird sich nichts ändern.

Die Elemente der zweiten ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen durch

Einfacher ist es aber, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.

Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.

Das zweite Element bekommt ein Pluszeichen.

Vor das dritte Element kommt wieder ein Minuszeichen – das Element ist übrigens von Haus aus negativ.

Das dritte Element bekommt dann wieder ein positives Vorzeichen.

Nun sind die Unterdeterminanten dran. Diese bekommen wir, indem wir immer die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.

Dann berechnen wir der Reihe nach die einzelnen Unterdeterminanten. Das wird ein bisschen dauern.

Wir bringen ein wenig Spannung in die Sache, indem wir nach der ersten Zeile entwickeln.

Jetzt kommt wieder das Schachbrettmuster.

Wir berechnen jetzt die nächste Unterdeterminante.

Wir könnten zum Beispiel nach der dritten Zeile entwickeln,

aber wir können ja auch nach Spalten entwickeln.

Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.

Wir können aber auch nach der dritten Zeile entwickeln,

noch spannender ist es aber, nach Spalten zu entwickeln.

Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.

Jetzt folgt die nächste 3×3-Determinante.

Wir können nach einer beliebige Zeile oder Spalte entwickeln,

oder aber wir setzen einen kleinen Zaubertrick ein.

Das hat sich bewährt, also machen wir es mit der letzten verbleibenden Determinante genauso.

Damit haben wir die Determinante der ursprünglichen 4×4-Matrix auch schon berechnet!

Wir hätten statt nach der zweiten Zeile zum Beispiel auch nach der vierten Spalte entwickeln können. Machen wir das doch gleich mal!

Wir rechnen und rechnen …

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