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Die ursprüngliche Matrix wird mithilfe der diagonalisierenden Matrix auf Diagonalform gebracht:

Es wäre jedoch überflüssig, die Multiplikationen durchzuführen, denn die Diagonalform sieht immer so aus, dass die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen und alle anderen Elemente null sind.

Die Eigenwerte kennen wir schon:

Die Diagonalform lautet also:

Als Nächstes lernen wir ein paar unterhaltsame Begriffe zum Thema Matrizen kennen.

Der erste Begriff lautet führender Hauptminor (auch als Hauptabschnittsdeterminante bekannt).

Hier ist eine Matrix:

Der erste führende Hauptminor ist diese 2 hier.

Der zweite führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.

Und der dritte führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.

Die Berechnung ist ziemlich langweilig, aber mit dem Entwicklungssatz kommen wir auf …

Der vierte Hauptminor schließlich ist die Determinante der gesamten Matrix.

Diese zu berechnen ist noch langweiliger, aber der Entwicklungssatz ergibt …

Das zweite höchst interessante Konzept ist die Definitheit von Matrizen.

Zum Feststellen der Definitheit brauchen wir die Hauptminoren, die wir gerade kennengelernt haben, genauer gesagt ihre Vorzeichen.

In unserem aktuellen Beispiel ist der erste führende Hauptminor positiv, der zweite ebenfalls, und der dritte ist negativ.

Wie sieht es dann mit der Definitheit aus?

Die -Matrix ist

positiv definit,

wenn

negativ definit,

wenn

positiv semidefinit,

wenn

negativ semidefinit,

wenn

indefinit,

wenn

Die -Matrix ist positiv definit, wenn

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

die Eigenwerte und existieren

und

Bei -Matrizen kann die Definitheit auch anhand der führenden Hauptminoren bestimmt werden:

beide führenden Hauptminoren positiv

erster negativ, zweiter positiv

erster positiv, zweiter null

erster negativ, zweiter null

in allen anderen Fällen

Bei -Matrizen ist es schon schwieriger, die Definitheit anhand der führenden Hauptminoren zu bestimmen:

alle Hauptminoren positiv

abwechselnd – + – +

und mit Minus beginnend

Wenn und nicht die beiden genannten Fälle vorliegen, ist die Matrix mit Sicherheit indefinit.

Wenn , dann ist keine Aussage möglich, die Definitheit kann nur durch Berechnung der Eigenwerte bestimmt werden.

Sehen wir uns jetzt einige Matrizen an und bestimmen wir ihre Definitheit.

Bestimmen wir die Definitheit dieser Matrizen.

Die Eigenwerte berechnen wir nur als letzten Ausweg, wenn uns die führenden Hauptminoren nicht weiterbringen. Beginnen wir mit .

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