Barion Pixel Monotonie, Konvexität, Extremwerte, Wertemenge | MATHEKING
 
Hier stellen wir dir kurz und leicht verständlich folgende Themen vor: Monotonie und Konvexität von Funktionen, lokale und absolute Extremwerte, Definitionsbereich und Wertemenge von Funktionen.
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Monotonie, Konvexität, Extremwerte, Wertevorrat Wir haben hier diese Funktion, und unsere Aufgabe ist es, das Verhalten der Funktion zu untersuchen. Also wann sie ansteigt, wann sie fällt und so weiter. Zwischen 1 und 4 geht es zum Beispiel bergauf. Zwischen 4 und 8 wiederum geht es bergab. Dann geht es wieder bergauf. Wir wollen mal ein bisschen präziser formulieren … Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: Extremwerte sind jene Punkte, an denen die Funktion ein Minimum oder ein Maximum hat. Hier ist ein Maximum der Funktion. Hier ist ein Minimum. Wir möchten aber nicht nur wissen, wann die Funktion ansteigt und wann sie fällt, sondern auch, wie sie das tut. In den Abschnitten, in denen sie so traurig tut, ist die Funktion konkav, und wenn sie fröhlich ist, ist sie konvex. Konkav: Konvex: Das wort lokal bedeutet, dass es sich um ein örtliches Maximum handelt. Es kann nämlich durchaus sein, dass die Funktion so aussieht. Dann sind beide Punkte lokale Maxima, und das Größere der beiden ist das sogenannte absolute Maximum. Unsere Funktion hat also insgesamt vier lokale Extrema, und zwei absolute Extrema: Absolutes Maximum: Absolutes Minimum: Alles perfekt soweit. Sehen wir uns nun ein paar weitere wundervolle Funktionen an. Hier ist diese Funktion. Wir wollen mal untersuchen, für welche x die Funktion ansteigt bzw. fällt, wo sie konkav bzw. konvex ist, wo die Extrema liegen, und schließlich wollen wir den Definitionsbereich und den Wertevorrat der Funktion bestimmen. Daran werden wir jetzt eine Zeit lang knabbern. Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: absolutes Maximum: absolutes Minimum: Konkav: Konvex: Definitionsbereich: Wertevorrat: Hier ist eine weitere Funktion. Sehen wir mal, für welche x die Funktion ansteigt bzw. fällt, wo sie konkav bzw. konvex ist, wo die Extrema liegen, und bestimmen wir den Definitionsbereich und den Wertevorrat der Funktion. Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: absolutes Maximum: absolutes Minimum: Konkav: Konvex: Hoppla, hier gibt es ein kleines Problem. Ein leerer Kreis bedeutet ja, dass der Punkt nicht mehr Teil der Funktion ist. Die Funktion nähert sich dem Punkt an … erreicht ihn aber nicht. An diesem Punkt gibt es also kein Maximum. Schauen wir uns die Minima an. Definitionsbereich: Wertevorrat: Und es bleibt weiter spannend …
 

Monotonie, Konvexität, Extremwerte, Wertemenge

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