Darstellung von Funktionen

Inhalt des Themas


Darstellung und Transformation von Funktionen
Darstellung und Transformation von Funktionen Beginnen wir mit einer sehr einfachen Sache. Sehen wir uns an, wie Funktionen, nun ja, funktionieren. Hier haben wir die x-Achse, mit lauter Zahlen darauf. Die Funktion ordnet bestimmten Zahlen auf dieser Zahlengeraden eine andere Zahl zu. Zum Beispiel ihr Quadrat. Diese Funktion notieren wir so: … oder … oder … Meist verwenden wir die dritte Schreibweise. Die glücklichen x, denen die Funktion einen Wert zuordnet, machen den Definitionsbereich der Funktion aus, kurz Df. Bei x² ist dies die gesamte x-Achse. Aber hier ist eine andere Funktion, die für negative x nicht definiert ist. Wir erfahren auch gleich, warum. Diese Funktion heißt ....... . Keine Sorge, wir schauen gleich unter die Haube: Nun, das ist eine Zahl, die ins Quadrat erhoben 9 ergibt. Klar, so etwas gibt es … Aber hier haben wir ein kleines Problem … Für ... muss nämlich gelten, dass ... Daraus ergibt sich … Aber das ist leider unmöglich. Wir werden keine Zahl finden, dessen Quadrat negativ ist. Das Quadrat von positiven Zahlen ist positiv … Und das Quadrat von negativen Zahlen ist ebenfalls positiv. Also gibt es keine Zahl, die ins Quadrat erhoben –3 ergibt. Der Definitionsbereich von …: Jenen Teil der y-Achse, die den x-Werten zugeordnet ist, nennen wir den Wertevorrat der Funktion. Den Wertevorrat kürzen wir mit Rf ab. Kommen wir nun zurück zur Funktion x². Der Graph von x² ist eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat. Aber wenn wir statt x … einsetzen … dann rutscht der Graph zur Seite. Der Scheitelpunkt des Graphen ist immer dort, wo dieser Ausdruck null ist. In unserem Fall ist das x=3. Dann hätten wir noch dies: Wenn wir zum Quadrat noch 3 addieren, verschiebt sich der Graph entlang der y-Achse um diesen Wert. Das nennen wir die innere Funktionstransformation, und das die äußere. Sehen wir uns mal Folgendes an: Die innere Transformation verschiebt den Graphen in x-Richtung, und die äußere Transformation verschiebt ihn in y-Richtung. Was passiert nun, wenn wir hier 2x einsetzen? Dann wird der Graph ein wenig in y-Richtung gestreckt, nichts großartig Spannendes. Viel interessanter ist, dass sich auch die Verschiebung ändert. Wir könnte nun das aussehen: … kennen wir bereits. Das müssen wir in x-Richtung verschieben, und zwar … rechnen wir mal aus … um 3. Und in y-Richtung um 2. Nehmen wir jetzt Folgendes: Das 3x streckt den Graphen ein bisschen, und dann kommt das Übliche. Wenn wir dem … ein Minuszeichen voranstellen, spiegeln wir damit den Graphen der Funktion um die x-Achse. Setzen wir innen ein Minuszeichen, spiegeln wir damit den Graphen um die y-Achse. Und wenn uns danach ist, können wir die Funktion auch um beide Achsen spiegeln. Noch interessanter wird es, wenn wir das mit den bisherigen Verschiebungen kombinieren. Sehen wir zum Beispiel, wie diese Funktion aussehen könnte. Wir haben eine leichte Verschiebung in x-Richtung, dann auch noch in y-Richtung, und schließlich eine Spiegelung aufgrund des Minuszeichens. Ganz anders sieht es aus, wenn das Minuszeichen außen ist: Alles super bisher. Was kommt wohl als Nächstes?
Monotonie, Konvexität, Extremwerte, Wertemenge
Monotonie, Konvexität, Extremwerte, Wertevorrat Wir haben hier diese Funktion, und unsere Aufgabe ist es, das Verhalten der Funktion zu untersuchen. Also wann sie ansteigt, wann sie fällt und so weiter. Zwischen 1 und 4 geht es zum Beispiel bergauf. Zwischen 4 und 8 wiederum geht es bergab. Dann geht es wieder bergauf. Wir wollen mal ein bisschen präziser formulieren … Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: Extremwerte sind jene Punkte, an denen die Funktion ein Minimum oder ein Maximum hat. Hier ist ein Maximum der Funktion. Hier ist ein Minimum. Wir möchten aber nicht nur wissen, wann die Funktion ansteigt und wann sie fällt, sondern auch, wie sie das tut. In den Abschnitten, in denen sie so traurig tut, ist die Funktion konkav, und wenn sie fröhlich ist, ist sie konvex. Konkav: Konvex: Das wort lokal bedeutet, dass es sich um ein örtliches Maximum handelt. Es kann nämlich durchaus sein, dass die Funktion so aussieht. Dann sind beide Punkte lokale Maxima, und das Größere der beiden ist das sogenannte absolute Maximum. Unsere Funktion hat also insgesamt vier lokale Extrema, und zwei absolute Extrema: Absolutes Maximum: Absolutes Minimum: Alles perfekt soweit. Sehen wir uns nun ein paar weitere wundervolle Funktionen an. Hier ist diese Funktion. Wir wollen mal untersuchen, für welche x die Funktion ansteigt bzw. fällt, wo sie konkav bzw. konvex ist, wo die Extrema liegen, und schließlich wollen wir den Definitionsbereich und den Wertevorrat der Funktion bestimmen. Daran werden wir jetzt eine Zeit lang knabbern. Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: absolutes Maximum: absolutes Minimum: Konkav: Konvex: Definitionsbereich: Wertevorrat: Hier ist eine weitere Funktion. Sehen wir mal, für welche x die Funktion ansteigt bzw. fällt, wo sie konkav bzw. konvex ist, wo die Extrema liegen, und bestimmen wir den Definitionsbereich und den Wertevorrat der Funktion. Streng monoton ansteigend: Streng monoton fallend: Extremwerte: lokales Maximum: lokales Minimum: absolutes Maximum: absolutes Minimum: Konkav: Konvex: Hoppla, hier gibt es ein kleines Problem. Ein leerer Kreis bedeutet ja, dass der Punkt nicht mehr Teil der Funktion ist. Die Funktion nähert sich dem Punkt an … erreicht ihn aber nicht. An diesem Punkt gibt es also kein Maximum. Schauen wir uns die Minima an. Definitionsbereich: Wertevorrat: Und es bleibt weiter spannend …
Darstellung quadratischer Funktionen
03 Darstellung quadratischer Funktionen Die erste Funktion unseres Walk of Fame: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte nun das aussehen: Um zu erkennen, welche Transformationen diese Funktion durchgemacht hat, müssen wir sie erst einer besonderen Behandlung unterziehen. Diese Behandlung heißt quadratische Ergänzung, und da wir sie auch später häufig brauchen werden, wollen wir sie gleich hinter uns bringen. Im Mittelpunkt stehen diese beiden Identitäten: In unserem Fall verwenden wir sie in dieser Form. Wir zerbrechen uns so lange den Kopf über diese Funktion, bis wir eine der Identitäten darin entdecken. Welchen Wert könnte b wohl haben? Das ist einfach: Und das ist bereits etwas, was wir darstellen können. Sehen wir uns jetzt mal das an: Hier kommt b: Und jetzt ist es Zeit, neue Funktionen kennenzulernen.
Polynomfunktionen, Potenzfunktionen

Wenn wir die verschiedenen Potenzen von x addieren, erhalten wir Polynome.

Das ist zum Beispiel x5.

Und wenn wir davon x3 subtrahieren …

dann erhalten wir diese kurvenreiche Polynomfunktion.

Hier ist die allgemeine Form einer Polynomfunktion.

Verhalten von Polynomfunktionen

Der Koeffizient des Glieds mit der höchsten Potenz ist der Leitkoeffizient.

Und das Verhalten der Polynomfunktion wird durch das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt.

Wenn der Exponent des höchsten Gliedes gerade ist und der Leitkoeffizient positiv, sieht die Polynomfunktion so aus.

Ha n páros

bei geradem n

Ha n páratlan

bei ungeradem n

Oder so.

Und so sieht es bei einem negativen Leitkoeffizienten aus.

Die Polynomfunktionen ungeraden Grades sehen ganz anders aus.

Wenn der Leitkoeffizient positiv ist, verlaufen sie von hier unten nach oben …

und bei negativem Leitkoeffizienten von oben nach unten.

Eine Polynomfunktion geraden Grades kann der x-Achse aus dem Weg gehen.

Aber eine Polynomfunktion ungeraden Grades muss die x-Achse mindestens einmal schneiden.

Deshalb haben Polynomfunktionen ungeraden Grades immer eine Nullstelle.

Und jetzt werden wir ein paar künstlerisch wertvolle Bilder malen.

Wir beginnen mit einer Polynomfunktion dritten Grades, die genau zwei Nullstellen hat.

Eine Polynomfunktion dritten Grades hat immer mindestens eine Nullstelle.

Und es kann bis zu drei geben.

Aber mit einem kleinen Trick bekommen wir auch zwei Nullstellen hin.

Der nächste Abschnitt unserer künstlerischen Karriere ist eine Polynomfunktion vierten Grades mit drei Nullstellen.

Manche Polynomfunktionen vierten Grades haben keine Nullstelle …

und manche haben eine.

Manche haben sogar zwei.

Es können aber auch vier sein.

Aber bei vier ist Schluss.

Eine Polynomfunktion n-ten Grades kann höchstens n Nullstellen haben.

Bei ungeradem Grad kann es zwischen 1 und n Nullstellen geben.

Bei geradem Grad gibt es 0 bis n Nullstellen.

Jetzt wollen wir gerade drei Nullstellen haben.

Nichts einfacher als das.

Versuchen wir herauszufinden, welcher der drei Graphen zu dieser Polynomfunktion gehört.

Der erste Graph ist von diesem Typ.

Eine Polynomfunktion ungeraden Grades.

Aber wir haben hier eine Funktion vierten Grades.

Die anderen beiden sehen schon besser aus.

Aber für solche Extraschlenker …

müsste hier noch etwas stehen.

Entweder x3

oder x2

oder beide.

Aber wir haben weder das eine noch das andere.

Unser Gewinner ist also der mittlere Kandidat.

Sehen wir uns gleich noch ein Beispiel an.

Welcher der drei Graphen gehört zu dieser Polynomfunktion?

Der erste Graph bildet eine Polynomfunktion geraden Grades ab.

Damit ist er aus dem Rennen.

Die anderen beiden zeigen Polynomfunktionen ungeraden Grades.

Wenn wir hier noch ein x hätten …

dann könnte es eine solche Extrakurve geben.

Haben wir aber nicht.

04 Darstellung von Potenzfunktionen; Parität einer Funktion Sehen wir uns nun an, wie die verschiedenen Potenzfunktionen aussehen. x hoch 2 kennen wir bereits. Als nächstes kommt x hoch 3. Und so sieht x hoch 4 aus. Und das ist x hoch 5. Die Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sehen alle ziemlich ähnlich aus. Die Funktionen mit ungeraden Exponenten ähneln sich ebenfalls. Die Funktionen vom Typ … mit geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse. Die Funktionen vom Typ … mit ungeraden Exponenten sind hingegen zum Nullpunkt symmetrisch. Diese Eigenschaft einer Funktion nennen wir Parität. Funktionen, die zur y-Achse symmetrisch sind, nennen wir gerade Funktionen. Die Besonderheit dieser Funktionen ist, dass für alle x im Definitionsbereich der Funktion Folgendes gilt: Funktionen, die zum Ursprung symmetrisch sind, nennen wir ungerade Funktionen. Bei ungeraden Funktionen gilt für alle x im Definitionsbereich: Natürlich gibt es Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Ein Beispiel ist die Quadratwurzelfunktion. Bald werden uns noch weitere solche Funktionen begegnen.


Darstellung von Quadratwurzelfunktionen
05 Darstellung von Quadratwurzelfunktionen Die nächste Funktion auf unserer Rundreise: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte nun das aussehen:
Darstellung von Betragsfunktionen
06 Darstellung von Betragsfunktionen Die nächste Funktion auf unserer Rundreise: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte nun das aussehen:
Schwierigere Betragsfunktionen
07 Schwierigere Betragsfunktionen Wenn wir Betragsfunktion hören, denken wir sofort: Ja klar, das ist die mit der V-Form … Aber jetzt wollen wir diese Funktion aus einer anderen Perspektive betrachten. Am Anfang war das einfache x … Und wenn wir den Absolutbetrag nehmen, wird der negative Abschnitt … einfach gespiegelt. So entsteht die V-Form. Diese ganze Geschichte ist aus einem einzigen Grund interessant. Und zwar wenn wir diese Funktion darstellen wollen … … dann stellen wir zuerst das dar, was zwischen den Betragszeichen steht … … und dann spiegeln wir den negativen Teil. Mit dieser Technik können wir auch ziemlich schrecklich aussehende Funktionen darstellen. Hier kommt unser nächster Fall: Auch hier fangen wir erst mit der Funktion zwischen den Betragszeichen an. Wir schauen uns an, für welche x die Funktion null ist. An diesen Stellen wird sie die x-Achse schneiden. Und zum Schluss noch eine weitere Aufgabe: Das wird auf jeden Fall spannend …
Darstellung der Funktion 1/x
08 Darstellung der Funktion 1/x Die nächste Funktion auf unserem Rundweg: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte das aussehen: Hier brauchen wir nun einen kleinen Trick. Wir setzen den Nenner in den Zähler ein … … und verändern den Rest so, dass der Wert des ursprünglichen Zählers erhalten bleibt.
Darstellung der Funktion e^x
10 Darstellung der Funktion e^x Die nächste Funktion auf unserer Rundreise: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte nun das aussehen:
Darstellung der Logarithmusfunktion
11 Darstellung der Logarithmusfunktion Die nächste Funktion auf unserer Rundreise: Natürlich gibt es Mutationen davon … Und damit verschieben wir den Graphen in x- und y-Richtung. Wie könnte nun das aussehen:
AUFGABE | Quadratische Funktionen
12 AUFGABE | Quadratische Funktionen Sehen wir uns nun ein paar quadratische Funktionen an. Hier ist auch schon die erste: Dann kommt diese hier: Und schließlich diese:
AUFGABE | Wurzelfunktionen
13 AUFGABE | Wurzelfunktionen Wir könnte diese Funktion aussehen: Und dann hätten wir noch diese hier:
AUFGABE | Betragsfunktionen
14 AUFGABE | Betragsfunktionen Sehen wir uns nun an, wie diese Funktionen aussehen könnten:
AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

AUFGABE

Darstellung der Exponentialfunktion
09 AUFGABE Die Exponentialfunktionen sind in der Mathematik ziemlich wichtig. Und nicht nur in der Mathematik. Mit diesen Funktionen können wir das Wachstum von Bakterien, die Zersetzung radioaktiver Elemente, die zunehmende Leistung der Computer und viele andere Dinge beschreiben. Nehmen wir zum Beispiel die Bakterien. Hier haben wir sie: Wenn sie sich in jeder Minute verdoppeln, wird die Anzahl der Bakterien durch die Exponentialfunktion 2x beschrieben. Auch die Zersetzung radioaktiver Atomkerne folgt einer Exponentialfunktion. Wenn die Basis einer Exponentialfunktion größer als 1 ist, dann ist die Funktion steigend. Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, ist die Funktion fallend. Und jetzt sehen wir mal, wie das aussehen könnte: