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Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Die Ableitung von x auf der rechten Seite ist ganz sicher 1.

Die linke Seite ist schon aufregender. Hier haben wir eine verkettete Funktion:

Wir müssen auch noch mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Was uns interessiert, ist – also die Ableitung der implizit definierten Funktion .

Versuchen wir, nach aufzulösen.

Geschafft.

Wir wissen, dass , und setzen das für y ein …

Und das ist nichts anderes als die explizite Ableitung.

Es stellt sich natürlich die Frage, wozu die ganze Mühe gut war, wenn nach dieser viel komplizierteren Rechnerei doch dasselbe Ergebnis herauskommt.

Die Antwort ist, dass es leider Funktionen gibt, die keine explizite Form haben.

Diese Funktion hat eine explizite Form, daher war hier der Aufwand für die implizite Ableitung tatsächlich nicht nötig.

Aber nehmen wir zum Beispiel dies hier:

Hier gibt es keine Möglichkeit, nach y aufzulösen, und somit sind wir auf die implizite Ableitung angewiesen.

Wir differenzieren also beide Seiten, dürfen dabei aber nicht vergessen, dass y hier eine Funktion ist.

So ist zum Beispiel eine verkettete Funktion.

Gemäß der Ableitungsregel für verkettete Funktionen:

 

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