Erwartungswert und Varianz

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Erwartungswert und Varianz

Wir haben drei 10-Dollar-Scheine, die wir am Roulette-Tisch investieren wollen. Wir fassen folgenden Plan: Wir setzen 10 Dollar auf Rot. Wenn wir gewinnen, haben wir die 10 Dollar verdoppelt und wir hören auf zu spielen.

Wenn wir verlieren, setzen wir wieder 10 Dollar auf Rot, und wieder gilt: Wenn wir gewinnen, hören wir auf.

Wenn wir auch beim zweiten Mal nicht gewinnen, setzen wir die letzten 10 Dollar auf Rot.

Die Frage ist, wie viel Geld wir erwartungsgemäß am Ende der Transaktion haben werden.

Dafür brauchen wir den sogenannten Erwartungswert.

Wir bezeichnen den Erwartungswert mit .

Für diskrete Werte wird er so berechnet:

In der Formel steht Xi für die Geldsumme, die wir haben werden, und P(Xi) gibt die Chancen dafür an.

Tragen wir das in eine Tabelle ein.

die Beute

Die Chance, beim ersten Mal zu gewinnen …

18/37.

Vielleicht gewinnen wir nicht gleich beim ersten Mal …

aber beim zweiten.

Es kann natürlich auch sein, dass wir erst beim dritten Mal gewinnen.

Und schließlich kann sich herausstellen, dass wir uns doch für eine schlechte Investitionsform entschieden haben …

Der erwartete Beute:

Das scheint aber nicht die beste Investition unseres Lebens gewesen zu sein, denn erwartungsgemäß gehen wir am Ende mit genau 29,54 Dollar nach Hause.

Wir werden natürlich nie genau diese Summe in der Tasche haben. Es ist vielmehr so, dass die realen Ergebnisse um diese 29,54 Dollar herum schwanken werden.

Allerdings gibt der Erwartungswert keinerlei Auskunft über das Ausmaß der Schwankungen. Dafür brauchen wir die Varianz. Die Varianz zeigt uns, mit welchen Schwankungen um den Erwartungswert herum wir rechnen müssen.

Bei einem Hochsprungturnier schaffen es die Athleten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 über die Latte. Jeder Teilnehmer hat drei Versuche. Diejenigen unter uns, die sich für Hochsprung nicht begeistern können, stellen sich vielleicht die Frage, wie viele Sprünge es denn bei 12 Teilnehmern dauern dürfte, bis die Sache endlich vorbei ist.

Dafür brauchen wir den Erwartungswert.

Wir bezeichnen den Erwartungswert mit .

In einem diskreten Fall wird er so berechnet:

Kehren wir jetzt zu unseren Hochspringern zurück und erstellen wir die Verteilungstabelle für einen Springer.

Wir kommen mit einem Sprung davon, wenn unser Mann es gleich beim ersten Mal über die Latte schafft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bekanntlich bei 0,8.

Zwei Sprünge gibt es, wenn der erste nicht gelingt,

der zweite aber schon.

[EB1] 

Und drei Sprünge gibt es dann, wenn die ersten beiden Sprünge misslungen sind und der dritte Sprung …

Ja, was passiert wohl beim dritten Sprung?

Es kann sein, dass die ersten beiden Sprünge danebengehen, der dritte aber erfolgreich ist.

Es kann aber ebenso sein, dass nach den ersten beiden Sprüngen auch noch der dritte misslingt.

Den Erwartungswert erhalten wir, indem wir die Werte von X mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und die Ergebnisse addieren:

Demnach springt jeder Teilnehmer 1,24-mal.

Bei 12 Teilnehmern beträgt die Gesamtzahl der Sprünge  

Wir müssen also mit etwa 15 Sprüngen rechnen.

Neben dem Erwartungswert gibt es noch ein weiteres wichtiges Merkmal: die Varianz.

Die Varianz zeigt uns, mit welchen Schwankungen um den Erwartungswert herum wir rechnen müssen.

Wenn zum Beispiel 15 Sprünge zu erwarten sind und die Varianz 3 Sprünge beträgt, bedeutet dies, dass die Anzahl der Sprünge normalerweise zwischen 12 und 18 liegt.

Wenn bei 15 erwarteten Sprüngen jedoch die Varianz bei 10 liegt, dann haben wir eine realistische Chance, dass der Wettkampf nach nur 5 Sprüngen zu Ende ist – aber 25 Sprünge sind genauso möglich.

Die Varianz bezeichnen wir mit .

Wie können wir sie berechnen?

im diskreten Fall

im stetigen Fall

Bei einer stetigen Zufallsvariable beträgt der Erwartungswert

Sehen wir uns noch diese Aufgabe an:

Die Varianz wird auch hier mit derselben Formel berechnet wie im diskreten Fall:

 [EB1]Ne felejtsük, hogy a németben a magyarhoz hasonlóan tizedes vesszőt használunk.