Trigonometrische Gleichungen

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Einheitskreis
Hier haben wir es mit einem ganz besonderen Kreis zu tun: Sein Mittelpunkt ist der Koordinatenursprung und sein Radius beträgt 1. Diesen Kreis nennen wir „Einheitskreis“. Die x- und y-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis liegen zwischen -1 und 1. Auf den ersten Blick erscheint es ziemlich langweilig, sich mit diesen Koordinaten zu befassen ... Da sie in der Mathematik jedoch eine ganz besondere Bedeutung haben, wollen wir kurz auf sie eingehen. Nehmen wir zum Beispiel diesen Punkt P. Im Einheitskreis nennen wir den Strahl in Richtung der x-Achse Anfangsstrahl, und den Strahl in Richtung des Punktes P nennen wir Endstrahl. Der Drehwinkel zwischen den beiden Strahlen kann positiv … oder negativ sein. Den Winkel können wir in Grad oder Radiant (Bogenmaß) ausdrücken. Die Sache mit dem Bogenmaß ist ganz interessant: Um den Winkel zu ermitteln, messen wir die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis. Dieser Winkel hier beträgt in Grad angegeben . Jetzt wollen wir mal sehen, wir das im Bogenmaß aussieht. Den Umfang des Kreises berechnen wir mit der Formel . Der Radius des Einheitskreises ist 1. Somit beträgt der Umfang . 45 Grad entsprechen einem Achtel (1/8) des gesamten Kreises, und so beträgt die Länge des dazugehörigen Kreisbogens 1/8 des Umfangs: Damit erhalten wir . Sehen wir uns nun die Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis etwas näher an. Beginnen wir mit . Wir notieren das mal. Anscheinend haben wir hier ein gleichschenkliges Dreieck, das heißt x = y. Jetzt wenden wir den Satz des Pythagoras an: Was passiert nun, wenn ? Wenn zwei Winkel eines Dreiecks betragen, dann ist das Dreieck gleichseitig. Und wieder hilft uns der Satz des Pythagoras. Den Fall lösen wir mit einer Spiegelung. Und wenn wir spiegeln, erhalten wir . kommt ohne viel Rechnerei aus. und ebenso. Jetzt ist es an der Zeit, diesen Koordinaten Namen zu geben. Die x-Koordinate nennen wir mal … vielleicht Boris? Und die y-Koordinate … Hm, vielleicht ist Boris doch kein so guter Name. Ein Name mit C würde nobler klingen. Wie wär’s mit Cosinus? Und die andere Koordinate nennen wir dann Sinus. Gleich geht es weiter!
Sinus, Kosinus und Konsorten
Wir haben hier diesen Kreis mit dem Radius 1. In diesem sogenannten Einheitskreis nennen wir den Strahl in Richtung der x-Achse Anfangsstrahl, und den Strahl in Richtung des Punktes P nennen wir Endstrahl. Der Drehwinkel zwischen den beiden Strahlen kann positiv … oder negativ sein. Den Winkel können wir in Grad oder Radiant (Bogenmaß) ausdrücken. Die x-Koordinate des Punktes P nennen wir . Die y-Koordinate heißt . Und jetzt berechnen wir Sinus und Cosinus für einige konkrete Winkel. sinx und cosx sind periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sie sich in einem regelmäßigen Abstand wiederholen. Dieser Abstand ist die Periode, und in diesem Fall beträgt die Periode 2pi (2π). Wenn wir uns folgende Gleichung ansehen: … dann stellen wir fest, dass aufgrund der Periodizität die Anzahl der Lösungen unendlich ist. Zudem gibt es eine blaue Lösung, Dies gibt uns der Taschenrechner an, und das ist die Periode. und dann gibt es auch noch eine grüne Lösung. Diese bekommen wir aber nicht vom Taschenrechner präsentiert, sondern wir müssen sie uns mit einem kleinen Trick erarbeiten. Beim Sinus ist es so, dass es immer eine blaue Lösung gibt, die uns der Taschenrechner angibt, und es gibt eine grüne Lösung, die wir selbst berechnen müssen. Dazu müssen wir nur Folgendes wissen: Die Summe der beiden Lösungen ergibt immer pi. Das schreiben wir uns mal hinter die Ohren. Und jetzt wollen wir sehen, wie es sich mit dem Cosinus verhält. Auch hier gibt es eine blaue und eine grüne Lösung, oder genauer gesagt gibt es unendlich viele von beiden. Die Situation ist hier noch ein bisschen einfacher als beim Sinus, denn die blaue und die grüne Lösung unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Die blaue Lösung erhalten wir aus dem Taschenrechner, und wenn wir ein Minuszeichen davorsetzen, dann haben wir auch schon die grüne Lösung. Wir sehen: Der Cosinus ist viel besser als der Sinus. Und damit kommen wir zum nächsten spannenden Fall. Beim Sinus ist es so, dass uns der Taschenrechner immer die blaue Lösung angibt. Die grüne Lösung berechnen wir, indem wir wissen, dass die Summe der beiden Winkel immer pi ergibt. Und nun lernen wir zwei ganz neue Spezies kennen. Sehen wir sie uns mal näher an. Nun ja, besonders schön sind sie nicht gerade. Als Tapetenmuster würden sie gerade noch durchgehen. Nach diesen visuellen Genüssen kommt nun eine wahre Flut von trigonometrischen Formeln. Wir sehen uns ungefähr eine Million an – also nur die allerwichtigsten. DIE WICHTIGSTEN ZUSAMMENHÄNGE IN DER TRIGONOMETRIE In diesem Einheitskreis haben wir ein rechtwinkliges Dreieck. Auf dieses Dreieck wenden wir mal den Satz des Pythagoras an. Das ist vielleicht die wichtigste Gleichung in der Trigonometrie. Diese Gleichung hat aber noch zwei Mutanten. Jetzt sind wir reif für einige weitere Zaubertricks im Einheitskreis. Und hier sind noch ein paar mehr.
Lösen von trigonometrischen Gleichungen
Wir haben hier diese Gleichung, die wir für die Zahlenmenge im Intervall [0,2pi] lösen wollen. Das heißt: Wir lösen sie erst mal, und dann sehen wir weiter … Diese Lösung spuckt auch der Taschenrechner aus, wenn wir ihn nett fragen: Aber diese zweite Lösung bekommen wir nicht aus dem Taschenrechner. Allerdings funktioniert das mit dem Cosinus so: Wenn es eine Lösung gibt, dann gibt es immer auch eine zweite Lösung – und zwar ist das die erste Lösung mit umgekehrtem Vorzeichen. Und jetzt kommen wir zu dieser seltsamen Bedingung. Sie besagt nur, dass wir ausschließlich in diesem Bereich nach einer Lösung suchen. Es scheint zwei Lösungen zu geben: Hier ist auch schon die nächste Gleichung: Lösen wir die Gleichung im Intervall [0,2pi].
Spannende trigonometrische Gleichungen
Beginnen wir mit ein paar einfacheren Gleichungen. Es gibt viele quadratische Gleichungen, die sich als trigonometrische Gleichung tarnen. Zum Beispiel diese: Und hier ist die Lösungsformel: Der Cosinus liegt immer zwischen -1 und 1, den ersten Fall treten wir also gepflegt in die Tonne. Wie sieht aber der zweite Fall aus? Ein weiterer typischer Trick: Wir setzen erst diese Identität in unsere Gleichung ein, um eine quadratische Gleichung zu bekommen. Sehen wir uns einen solchen Fall an. Die Gleichung enthält cosx im linearen Glied, wir kommen also nur weiter, wenn wir überall cosx haben. Und jetzt sehen wir uns eine spannendere Gleichung an. Beim Sinus ist es so, dass uns der Taschenrechner die blaue Lösung liefert. Um die grüne Lösung zu berechnen, müssen wir wissen, dass die Summe der beiden Winkel immer eine Gerade ergibt. Der Cosinus ist da viel pflegeleichter: Hier kommt die blaue Lösung aus dem Taschenrechner, und die grüne Lösung ist identisch – nur mit entgegengesetztem Vorzeichen. Beim Tangens gibt uns der Taschenrechner die blaue Lösung, und die Periode ist nicht , sondern .
Darstellung von trigonometrischen Funktionen
sinx und cosx sind periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sie sich in einem regelmäßigen Abstand wiederholen. Dieser Abstand ist die Periode, und in diesem Fall beträgt die Periode 2pi. Und jetzt sehen wir uns ein paar witzige Sachen an, die man mit diesen Funktionen veranstalten kann. Hier kommt auch schon der erste Fall: Was passiert nun, wenn wir die 2 hierhin verschieben: So weit so gut – aber was genau passiert hier? Am einfachsten ist das zu verstehen, wenn wir nur eine einzige Periode betrachten. Wenn wir hier 2 hinschreiben … … dann schrumpft die Periode auf das 1/2-fache. Wenn wir 3 hinschreiben … … nun, dann schrumpft die Periode eben auf das 1/3-fache. Und wenn wir 4 hinschreiben … … wir wissen ja schon, was passiert. Am besten notieren wir uns das gleich. Die Periode schrumpft auf das 1/b-fache. Dasselbe gilt auch für den Cosinus. Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir mit 2 multiplizieren. Und wenn wir hier zum Beispiel 2 einsetzen … … dann wird die Funktion in y-Richtung auf das 2-fache gestreckt. a-fache Streckung in y-Richtung Sehen wir uns gleich noch eine an. Hier kommt sie auch schon: Und jetzt kehren wir das Ganze um. Hier ist ein Funktionsgraph … … und wir versuchen mal herauszufinden, zu welcher Funktion er gehört. Erst müssen wir entscheiden, ob es sich um Sinus oder Cosinus handelt. Wir schauen, wo der Graph die y-Achse schneidet. Das scheint also eine Cosinusfunktion zu sein. a bestimmt, wie stark die Funktion in y-Richtung gestreckt wird. In diesem Fall überhaupt nicht: An b kommen wir nicht so leicht heran. Aber wir geben nicht auf. Nehmen wir eine Periode … … und schauen wir, wie oft sie in diesen Bereich hineinpasst: 4-mal, oder? Das heißt: b=4. Sehen wir uns jetzt noch einen Graphen an. Das muss eine Sinusfunktion sein, denn der Graph geht durch den Ursprung. Auch hier nehmen wir eine Periode … … und schauen, wie oft sie hier hineinpasst: 2,5-mal, nicht wahr? Und jetzt sehen wir mal, was als Nächstes kommt …
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