Ungleichungen

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Ungleichungen lösen: die superleichte Methode
Ungleichungen lösen: die Supermethode Jetzt geht’s richtig rund. Wir werden Ungleichheiten lösen. Zum Beispiel diese. Um der Lösung näher zu kommen, multiplizieren wir mal mit dem Nenner. Auf den ersten Blick eine ganz gute Idee. Allerdings gibt es ein kleines Problem. Oder eher ein großes Problem. Unser Ergebnis besagt nämlich, dass die Lösungen der Ungleichung aus jenen x bestehen, für die x<2 gilt. Nun, sehen wir mal, ob x=0 tatsächlich eine Lösung ist … Ist es nicht. Irgendwo muss es einen Fehler geben. Er ist uns passiert, als wir mit dem Nenner multipliziert haben. Wir werden auch gleich erkennen, was der Fehler war – aber zuerst sehen wir uns eine interessante Sache an. Jeder weiß, dass 2 kleiner als 3 ist, da ist nichts Spannendes dabei. Wenn wir aber das Ganze mit (–1) multiplizieren, dann kehrt sich das Vergleichszeichen um. Das heißt: Wir können eine Ungleichung nicht ohne Weiteres mit einer beliebigen Zahl multiplizieren. Wir müssen wissen, ob der Multiplikator positiv oder negativ ist. Da im Nenner auch x auftaucht, wissen wir nicht, ob wir es mit einer positiven oder negativen Zahl zu tun haben. Also verzichten wir lieber auf das Multiplizieren. Ungleichungen multiplizieren wir nie mit einem Ausdruck, der Unbekannte enthält. Stattdessen lösen wir nach Null auf und bringen alles auf einen gemeinsamen Nenner. Statt Multiplikation nach Null auflösen … und auf gemeinsamen Nenner bringen. Und noch etwas Witziges zum Schluss. Wir stellen die Vorzeichen von Zähler und Nenner auf einer Zahlengeraden dar. Hier ist die Zahlengerade … Und jetzt tragen wir das Vorzeichen des Zählers auf. Wenn x größer als 2 ist, ist der Zähler positiv. Um das festzustellen, nehmen wir einfach eine Zahl, die größer als 2 ist … und setzen sie in den Zähler ein. Nun, 3–2 ist positiv, und somit ist der Zähler für alle x größer als 2 positiv. Das markieren wir mit einer durchgezogenen Linie. Wenn x kleiner als 2 ist, ist der Zähler negativ. Um das zu überprüfen, nehmen wir eine Zahl, die kleiner als 2 ist … und setzen sie in den Zähler ein. In diesem Fall ist der Zähler negativ, und das markieren wir mit einer gestrichelten Linie. Und wenn x genau 2 ist, ist der Zähler null. Das markieren wir mit einem Punkt. Wie verhält es sich nun mit dem Nenner? Wenn x größer als 1 ist, ist der Nenner positiv. Wenn x kleiner als 1 ist, ist der Nenner negativ. Und bei x=1 ist der Nenner null. Da der Nenner nicht Null sein darf, markieren wir diesen Punkt mit einem leeren Kreis. Und jetzt kommt der Clou. Wir lesen ab, für welche x der Bruch negativ und für welche x er positiv ist. Wenn Zähler und Nenner beide negativ sind, ist der Bruch positiv. Der Grund: Das Produkt zweier negativer Zahlen ist immer positiv. Gut, wir wollen hier teilen, nicht multiplizieren, aber die Regel gilt auch für die Division: Eine negative Zahl geteilt durch eine negative Zahl ergibt eine positive Zahl. Wenn eine Zahl negativ und die andere positiv ist, ist der Bruch negativ. Und wenn beide positiv sind, ist auch der Bruch positiv. Wir brauchen hier einen negativen Bruch. Die Lösung lautet also: Und jetzt noch eine weitere Aufgabe. Lösen wir diese Gleichung: Statt Multiplikation nach Null auflösen … und auf gemeinsamen Nenner bringen. Und jetzt kommt das Wichtigste. Wir bestimmen, für welche x der Bruch negativ und für welche x er positiv ist. Der Zähler besteht hier aus zwei Faktoren. In einem solchen Fall tragen wir beide getrennt auf. Der Nenner darf nicht Null sein, also markieren wir diesen Punkt mit einem leeren Kreis. Wenn alle drei Faktoren negativ sind, ist der Bruch negativ. Der Grund: Das Produkt dreier negativer Zahlen ist immer negativ. Das Produkt von zwei negativen und einer positiven Zahl ist positiv, das Produkt von einem negativen und zwei positiven Zahlen ist wieder negativ, und schließlich ist das Produkt von drei positiven Zahlen positiv. Wir brauchen hier einen Bruch, der nicht negativ ist.
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