Lineare Gleichungssysteme, inverse Matrix

Inhalt des Themas


Inverse einer quadratischen Matrix (Basistransformation)

-Matrizen haben die angenehme Eigenschaft, dass die Multiplikationsreihenfolge für die Inversenberechnung irrelevant ist, das heißt

Rechts- und Linksinverse sind also identisch.

Jetzt werden wir die Inversen einiger solcher -Matrizen berechnen. Diese Reihenfolge behalten wir bei.

Hier ist auch schon eine Matrix:

Versuchen wir, ihre Inverse zu berechnen.

Wir müssen eine Matrix finden, die mit der Originalmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Die Fragezeichen sind keine große Hilfe bei der Lösungssuche.

Wir könnten stattdessen Buchstaben vergeben, zum Beispiel a, b, c usw.

Oder wir könnten die üblichen Elementbezeichnungen nehmen:  und  und  usw.

Aber wir verwenden lieber eine andere Bezeichnung, und bald wird auch klar, warum.

Der Doppelindex ist zu kompliziert, also benutzen wir nur ,  und .

Und die Spalten halten wir durch Farben auseinander.

Das wäre also die inverse Matrix. Berechnen wir jetzt noch die Werte von ,  und

Dazu führen wir die Multiplikation durch.

Die Sache sieht etwas kompliziert aus, aber nur auf den ersten Blick.

Was auch immer die inverse Matrix ist: Ihre Elemente müssen diese drei Gleichungssysteme erfüllen.

Lösen wir sie also. Im Prinzip würden wir dafür drei separate Tabellen benötigen.

In Wirklichkeit genügt aber eine einzige Tabelle.


Die Inverse bei nicht quadratischen Matrizen (Gauß)

Die Linksinverse hat die Form 3x2.

Die Rechtsinverse hat ebenfalls die Form 3x2.

Wir berechnen beide mithilfe der Basistransformation.

Leider gibt es hier ein kleines Problem.

eine Linksinverse

gibt es nicht

eine Rechtsinverse

schon

Es bleibt eine -Zeile übrig, in der nicht alle Werte null sind. Somit gibt es keine Lösung.

Hier gibt es eine Lösung,

das oben gebliebene  nennen wir mal .


Rang eines Vektorsystems berechnen (Gauß)

Hier gerät unsere Basistransformation leider ins Stocken, denn in den -Zeilen gibt es nur noch Nullen.

In einem solchen Fall gibt es entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine.

Wie kann nun der Vektor  erzeugt werden?

Die Lösung des Gleichungssystems lesen wir wie gewohnt ab.

 und  sind beliebig

Wenn zum Beispiel  und  null sind, dann

Der Rang des Vektorsystems entspricht der Anzahl der heruntergeholten x – hier also zwei.

     sind linear unabhängige Vektoren, und

Welchen Rang hat das Vektorsystem , und kann es den Vektor  erzeugen?

Der Vektor  kann dann erzeugt werden, wenn es  gibt, für die gilt:

Wir formen die rechte Seite so um, dass klar wird, wie viele es von den Vektoren      gibt.


Rang eines Vektorsystems berechnen (Basistransformation)

Jetzt kommt die gewohnte und wie immer hoch spannende Basistransformation.

Keine Lösung,

der Vektor  kann also nicht erzeugt werden.

Hier gerät unsere Basistransformation leider ins Stocken, denn in den -Zeilen gibt es nur noch Nullen.

In einem solchen Fall gibt es entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine.


Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen (Gauß)

Rang eines Vektorsystems und Erzeugbarkeit von Vektoren (Basistransformation)

Welchen Rang hat das Vektorsystem , und kann es den Vektor  erzeugen?

Der Vektor  kann dann erzeugt werden, wenn es  gibt, für die gilt:

Wir formen die rechte Seite so um, dass klar wird, wie viele es von den Vektoren      gibt.

Da      unabhängige Vektoren sind, gilt Folgendes: Wenn es auf der linken Seite ein Stück  gibt,

dann muss es auch auf der rechten Seite genau ein Stück davon geben,

und wenn es auf der linken Seite zwei  gibt, dann brauchen wir auch rechts genauso viel davon.

Wir lösen das.

Interessant dabei ist, dass diese Tabelle direkt aus der Aufgabenstellung abgeleitet werden kann.

Wir müssen nur noch zusammenzählen, wie viele , wie viele  und wie viele  es gibt.


Rang eines Vektorsystems und Erzeugbarkeit von Vektoren (Gauß)

Interessant dabei ist, dass diese Tabelle direkt aus der Aufgabenstellung abgeleitet werden kann.

Wir müssen nur noch zusammenzählen, wie viele , wie viele  und wie viele  es gibt.

Die Lösung:      

Und hier ist der Vektor :  

Und da wir alle drei x herunterholen konnten, hat das Vektorsystem den Rang 3.

Jetzt wenden wir uns einer weiteren spannenden Sache zu: der Invertierung von Matrizen.

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse) einer -Matrix  ist eine Matrix , für die gilt:

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, wenn wir also die Reihenfolge vertauschen, kann es sein, dass wir  mit einer ganz anderen Matrix multiplizieren müssen, um die Einheitsmatrix zu erhalten.

Beide Matrizen werden als Inverse bezeichnet:

hier ist  die Rechtsinverse

hier ist  die Linksinverse

-Matrizen haben die angenehme Eigenschaft, dass die Multiplikationsreihenfolge für die Inversenberechnung irrelevant ist, das heißt

Rechts- und Linksinverse sind also identisch.

Jetzt werden wir die Inversen einiger solcher -Matrizen berechnen. Diese Reihenfolge behalten wir bei.


Inverse einer quadratischen Matrix (Gauß)

Dazu führen wir die Multiplikation durch.

Die Sache sieht etwas kompliziert aus, aber nur auf den ersten Blick.

Was auch immer die inverse Matrix ist: Ihre Elemente müssen diese drei Gleichungssysteme erfüllen.

Lösen wir sie also. Im Prinzip würden wir dafür drei separate Tabellen benötigen.

In Wirklichkeit genügt aber eine einzige Tabelle.

Wir lösen die drei Gleichungssysteme gleichzeitig mithilfe der üblichen Basistransformation.

Wir gehen die Schritte der Basistransformation jetzt nicht einzeln durch, denn alles läuft wie gewohnt ab. Sollten deine Erinnerungen an diese Methode schon etwas verblasst sein, kannst du sie gerne im Bereich Basistransformation auffrischen.

Die resultierende Lösung ist nichts anderes als die Inverse.

Wir müssen nur noch die Zeilen richtig zuordnen:


Ein noch schlimmeres parametrisches Gleichungssystem (Gauß)

Diese müssen wir lösen. Wenn es eine Lösung gibt, kann der gesuchte Vektor erzeugt werden. Wenn es keine Lösung gibt, kann er nicht erzeugt werden.

Jetzt geht’s ans Lösen:

Es gibt eine Lösung,

also kann der Vektor  erzeugt werden.

Zum Beispiel

Jetzt kommt die gewohnte und wie immer hoch spannende Basistransformation.


Ein parametrisches Gleichungssystem (Basistransformation)

Wir gehen den Parametern aus dem Weg, solange es geht.

Jetzt müssen wir ein bisschen nachdenken.

1. FALL  und

unendlich viele Lösungen

2. FALL  und

keine Lösung

3. FALL  und β = beliebig

 kann nach unten; es gibt eine Lösung

NEM0 = nicht 0

BÁRMI = beliebig

So, genug vom Nachdenken.

Für welche Parameterwerte ,  und  hat das folgende Gleichungssystem null, eine bzw. unendlich viele Lösungen?

So lange es geht, wählen wir kein erzeugendes Element aus einer Zeile oder Spalte, die einen Parameter enthält.

Diese 1 sieht gut aus, nehmen wir sie!