Prozentrechnung und Finanzrechnungen

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Prozentrechnung 2.0
Hier kommt eine kurze, aber interessante Geschichte, die uns das Leben unglaublich erleichtern kann. Oder zumindest jenen Teil unseres Lebens, den wir mit Prozentrechnung verbringen wollen. Der Preis für ein Auto steigt in einem Monat um 6%, fällt aber gleich im nächsten Monat wieder um 15% und kostet damit 36.040 Dollar. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? Was wir verstehen müssen, ist Folgendes: Nach einer Preiserhöhung um 6% beträgt der neue Preis Und nach einer Preissenkung um 15% beträgt der neue Preis 100%–12%=88% neuer Preis=0,88*alter Preis Wenn also x der ursprüngliche Preis war, ist ihm Folgendes widerfahren: um 6% angehoben um 12% reduziert x*1,06 *0,88=37312 Und das ist der neue Preis, von dem wir wissen, dass er 36.040 Dollar beträgt. Der alte Preis betrug also 40.000 Dollar. Und jetzt auf zum nächsten Fall. Das Bruttoinlandsprodukt eines Landes entwickelt sich in drei aufeinanderfolgenden Jahren so: Erst steigt es um 3%, dann steigt es um 1%, und schließlich schrumpft es um 1%. Wie hoch war die prozentuale Veränderung insgesamt in den drei Jahren? Letztlich unterscheidet sich dieser Fall überhaupt nicht von unserer Autogeschichte. Wer sich lieber mit Autos beschäftigt, kann also die Geschichte auf die Preisentwicklung eines Autos übertragen: Der Preis steigt erst um 3%, dann um 2% und fällt dann um 1%. Die Frage ist dann, um wie viel Prozent sich der Preis insgesamt geändert hat. Der ursprünglichen Preis soll x betragen. Geändert wurde er wie folgt: Zum Schluss unserer Geschichte stehen 104% des ursprünglichen Preises. Der Anstieg betrug also 4%. Auf diesen Wert wären wir auch so gekommen: Aber das wäre ein fataler Irrtum … Schauen wir, was passiert, wenn wir die Prozentsätze ein wenig verändern. Die Rechnung lautet dann: Das sind genau 25,3% mehr. Und das unterscheidet sich ganz klar von dem Wert, den wir so erhalten: Also vergessen wir das am besten schnell wieder. Und jetzt kommen noch erstaunlichere Dinge …
Zinseszins
Eine Bank gibt uns 3% jährliche Zinsen auf unser Geld. Wir freuen uns über diesen Jahreszins von 3% und zahlen schnell 1000 Dollar ein. Wie viel Geld werden wir nach 5 Jahren haben? Nun, anfangs haben wir 1000. Nach einem Jahr sind es 3% mehr. Nach einem weiteren Jahr nimmt diese angewachsene Summe um weitere 3% zu. Die so gestiegene Summe nimmt dann um weitere 3% zu … Und so weiter. Und damit haben wir es auch schon: Noch etwas: Die Summe, die wir nach 5 Jahren haben, nennen wir K5. Das war’s. Versuchen wir nun, das ein bisschen zu verallgemeinern. Diese Formel nennen wir die Zinseszinsformel. Würde die Bank nicht jährlich, sondern monatlich P% Zinsen zahlen, hätten wir statt nach n Jahren bereits nach n Monaten die Summe Kn. In der Formel steht n also nicht für die Anzahl der Jahre … und auch nicht für die Anzahl der Monate. Es gibt vielmehr die Anzahl der Zinsperioden an. Und am Ende jeder Periode erhalten wir P% Zinsen. DIE ZINSESZINSFORMEL Aus der Summe K0 wird nach n Zinsperioden die Summe Kn, wenn der Zins in jeder Periode P% beträgt: Wir haben 2000 Dollar, die wir für 5 Jahre in der Bank deponieren. Die ersten zwei Jahre beträgt der Jahreszins 1%, in den nächsten drei Jahren bereits 2%. Wie viel Geld haben wir nach Ablauf der 5 Jahre? Zeichnen wir es mal an. In den ersten zwei Jahren erhalten wir einen Zins von 1%. Danach erhalten wir 2%. Eine andere Bank gewährt in den ersten zwei Jahren 3%, und in den drei darauffolgenden Jahren 2%. Wie viel Geld müssen wir anlegen, wenn wir nach fünf Jahren 1500 Dollar abheben wollen? Das ist im Grunde die gleiche Geschichte – nur dass wir jetzt die Summe K5 kennen. Wir haben 2000 Dollar, die wir für 5 Jahre in der Bank deponieren. Die ersten zwei Jahre beträgt der Jahreszins 1%, in den nächsten drei Jahren 2%. Wie viel Geld haben wir nach 5 Jahren?