Logarithmische Gleichungen

Was ist der Logarithmus?
Bühne frei für den Logarithmus Nun betritt ein neuer Akteur die Szene: der Logarithmus. Also der Logarithmus ist grundsätzlich eine ganz hervorragende Sache, benötigt aber zum Einstieg eine kleine Erklärung. Wir müssen nur Folgendes wissen: verrät uns, auf welche Potenz wir a heben müssen, um x zu erhalten. Sehen wir uns einmal das hier an: Dieser Ausdruck sagt uns, auf welche Potenz wir 2 heben müssen, um 8 zu erhalten. Nun, 23=8, die Antwort lautet also … Oder nehmen wir das hier: Sehen wir mal: Jetzt kommt ein schwierigerer Fall: Wie kommen wir von der 8 zur 2? Einfach durch 4 teilen ist nicht das Wahre, denn hier geht es ja um Potenzrechnung. Die richtige Antwort: Versuchen wir mal zu erraten, was das sein könnte: Die Frage ist: 8 hoch wie viel ist 16? Nun, was 8 und 16 gemeinsam haben, ist die Zahl 2, denn 23=8 und 24=16. Um also von der 8 zur 16 zu kommen, machen wir erst den Schritt von der 8 zur 2: … und dann den Schritt von der 2 zur 16. Auch das dürfte nun kein Problem mehr sein: Sogar das schaffen wir: Und jetzt kommen wir zu den Logarithmusregeln. Logarithmusregeln Mit das Tollste am Logarithmus ist, dass wir damit Gleichungen wie diese lösen können: Wir logarithmieren beide Seiten. Und schon haben wir es. Wir können das auch verallgemeinern. Wenn wir etwa Folgendes haben: dann können wir auf diese Weise x ganz einfach berechnen. Die Umkehrung merken wir uns auch. Wenn dann können wir x so berechnen. Exponentialgleichung lösen Logarithmische Gleichung lösen Lösen wir nun folgende Gleichungen: Und jetzt kommen wir zu den Funktionen. Der Logarithmus ist nur für positive x-Werte definiert. Wenn die Basis größer als 1 ist, dann ist die Funktion steigend. Bei einer Basis kleiner als 1 ist die Funktion fallend.

Textaufgaben mit Exponentialgleichungen und logarithmischen Gleichungen
Die Generationszeit einer Bakterienkultur soll 25 Minuten betragen. Das bedeutet, dass sich in dieser Zeit die Anzahl der Bakterien in der Kultur verdoppelt. Zu Beginn enthielt die Kultur 5 Milligramm Bakterien. Nach wie vielen Minuten enthält die Kultur 30 Milligramm Bakterien? Wir zeichnen mal ein Diagramm. Mit dieser kleinen Formel können wir berechnen, wie viel Milligramm Bakterien wir gerade haben: Zum Schluss unserer Geschichte haben wir 30 Milligramm Bakterien. Das ist die Gleichung, die wir irgendwie lösen müssen. Zum Beispiel so … Dazu brauchen wir 2x alleine auf einer Seite. Den Multiplikator müssen wir loswerden. Jetzt kramen wir den Taschenrechner hervor, drücken die Taste log, dann 2 und dann 6. Wenn wir zu den Unglücklichen gehören, die nur eine einfache log-Funktion auf dem Taschenrechner haben … … dann brauchen wir einen kleinen Trick. Aber auch so kommen wir zur Lösung. x=2,585 heißt aber nicht, dass fünf Minuten vergangen sind … Es bedeutet vielmehr, dass x=2,585 Generationszeiten vergangen sind. 64,625 Minuten In einer anderen Bakterienkultur wächst die Zahl der Bakterien in 40 Minuten auf das Dreifache. Wie viel beträgt die Generationszeit, also in wie vielen Minuten verdoppelt sich die Bakterienzahl? Zu Anfang haben wir eine bestimmte Bakterienmenge. Diese Menge verdoppelt sich … … und verdoppelt sich wieder. Und so weiter. In unserer Geschichte wächst die Zahl der Bakterien auf das Dreifache: Wir nehmen wieder den Taschenrechner heraus und drücken die Tasten log, dann 2 und dann 3. Und wenn unser Taschenrechner das beim ersten Mal nicht gepackt hat, dann schafft er es auch jetzt nicht. Dann müssen wir diesen Trick einsetzen. Wie geht es nun weiter? x=1,585 bedeutet, dass in 40 Minuten 1,585 Generationszeiten vergangen sind. Die Generationszeit beträgt also … 25,24 Minuten. Die Bakterienzahl verdoppelt sich in 25,24 Minuten. Bei radioaktiven Substanzen gibt die Halbwertszeit an, in welcher Zeit sich die Anzahl der Kerne im radioaktiven Material halbiert. Bei Plutonium-239 beträgt zum Beispiel die Halbwertszeit 24.000 Jahre – bei Strontium-90 hingegen nur 25 Jahre. Diese supertolle Formel verrät uns, wie sich beim radioaktiven Zerfall die Anzahl der Kerne im Zeitverlauf ändert: Wenn wir ein Gebiet haben, das mit Strontium-90 verseucht ist – um wie viel Prozent nimmt die Zahl der radioaktiven Kerne in 40 Jahren ab? Innerhalb welcher Zeit reduziert sich die Menge an Strontium-90 auf 12,5%? Die Halbwertszeit T beträgt 25 Jahre, und es gilt Folgendes: Was passiert nun in 40 Jahren? In 40 Jahren sinkt also die Anzahl der Strontium-90-Kerne auf 33%. Nun wollen wir sehen, nach welcher Zeit die Zahl der Atomkerne auf 90% abgenommen hat. Es sieht also so aus, dass es 3,8 Jahre braucht, bis die Zahl der Atomkerne auf 90% abgenommen hat. In einer Substanz soll die Anzahl der radioaktiven Kerne in 30 Jahren um 12% abnehmen. Wie hoch ist die Halbwertszeit? In welcher Zeit nimmt die Anzahl der radioaktiven Atome in der Substanz von 50% auf 10% ab? Wir nehmen unsere kleine Formel her: In 30 Jahren ist die Anzahl der Kerne um 12% gesunken: So ist das aber nicht ganz korrekt … Wenn etwas um 12% abnimmt, dann bleiben 88% übrig. Die Halbwertszeit beträgt also 162,7 Jahre. Sehen wir nun, in welcher Zeit die Anzahl der radioaktiven Atome von 50% auf 10% abnimmt: Für die Reduzierung von 50% auf 10% braucht es 377,8 Jahre. Das war’s.

Lösen von logarithmischen Gleichungen
Jetzt ist die Zeit reif für ein Paar höchst aufregende logarithmische Gleichungen. Als Erstes merken wir uns, dass der Logarithmus keine negativen Zahlen mag. Wir erinnern uns vielleicht noch vage, was es mit dem Logarithmus auf sich hat, und wir wissen noch, dass Zu dieser Feststellung sind wir auf folgendem Wege gekommen: Stellen wir uns nun einmal folgende Frage: Die Antwort lautet, dass es eine solche Zahl nicht gibt. Es gibt kein x, für das 2x=-32 gilt. Merken sollten wir uns von alledem, dass wir das Lösen von logarithmischen Gleichungen immer mit einer Bedingung beginnen. Häufig sehen wir logarithmische Gleichungen, die sich als quadratische Gleichung tarnen.

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