Parametrische Kurven

Inhalt des Themas


Was sind parametrische Kurven?

Das hier ist die Ebene (x,y). Eine Wespe legt darauf diesen merkwürdigen Weg zurück.

Da die Wespe auf der Ebene munter hin und her krabbelt, können wir ihren Weg nicht mit Funktionen von einer Variablen beschreiben, denn eine Funktion kann jeder x-Koordinate nur eine einzige y-Koordinate zuordnen.

In unserem Fall wäre das nicht besonders hilfreich.

Um den Weg der Wespe zu beschreiben, benötigen wir parametrische Kurven.

Eine parametrische Kurve gibt für jeden Zeitpunkt die x- und y-Koordinate der Wespe an. Und die z-Koordinate noch dazu, wenn die Wespe wegfliegt.

Aber zum Kennenlernen der parametrischen Kurven lassen wir die Wespe erst mal nur krabbeln, das heißt, wir bleiben in der Ebene.

Die x-Koordinate der Wespe wird durch die Funktion x=f(t) als Funktion der Zeit beschrieben. Im Laufe der Zeit ändert sich die Koordinate x=f(t) kontinuierlich.

Die y-Koordinate der Wespe wird wiederum durch die Funktion

 y=g(t)

beschrieben.

Wenn die Wespe beispielsweise eine Kreisbahn mit einem Radius von 10 cm abläuft, dann beschreibt eine Kosinusfunktion ihre x-Koordinate …

und eine Sinusfunktion ihre y-Koordinate.

Die Geschwindigkeit der Wespe lässt sich durch die Parameterwahl beeinflussen.

Wenn die Wespe zum Beispiel den Kreis in t=60 s ablaufen soll, müssen wir die Kurve so parametrieren:

Wir müssen die Kurve also so modifizieren, dass wir den Punkt p im Zeitpunkt t=30 erreichen.

So müsste es klappen. Probieren wir es aus.

Wenn zum Beispiel t=15, dann

Oder wenn t=30, dann

Es scheint also zu funktionieren.

Was passiert, wenn der Radius des Kreises 7 cm statt 10 cm beträgt, und die Wespe den Kreis in 40 statt 60 Sekunden abläuft?

Wir müssen nur diesen Wert durch 7 ersetzen, und diesen durch 20.

Und jetzt wollen wir uns etwas Spannenderes ansehen.

Unser Protagonist ist unverändert, aber diesmal brauchen wir noch einen Plattenspieler.

Die Wespe ruht sich gerade am Rand der Schallplatte aus, als wir den Plattenspieler einschalten und die Platte sich zu drehen beginnt. Für eine volle Umdrehung braucht sie 4 Sekunden.

Aus dem letzten Fall wissen wir noch, dass der Weg der Wespe durch diese parametrische Kurve beschrieben wird:

R = Radius der Platte

a =halbe Umdrehungszeit

Der Durchmesser einer Schallplatte beträgt 30 cm, d. h. R=15. Die Umdrehungszeit beträgt 4 Sekunden, die Hälfte davon ist a=2.

Und jetzt wird es richtig spannend …

Die Wespe beginnt jetzt nämlich, mit 2 cm/Sekunde auf den Mittelpunkt der Schallplatte zuzukrabbeln.

Daraus ergibt sich diese lustige spiralförmige Kurve.

Der Unterschied zu vorhin besteht darin, dass der Radius jetzt nicht den festen Wert R=15 hat, sondern um 2 cm pro Sekunde kürzer wird:

Diese Kurve wird die Spirale des Archimedes genannt.

In der klassischen Archimedischen Spirale bewegt sich die Wespe vom Mittelpunkt des Kreises nach außen.

Die Geschwindigkeit der Wespe beträgt immer noch 2 cm/Sekunde, so dass der Radius zu Beginn null ist und pro Sekunde um 2 cm zunimmt:

Hier kommt die bekannte Formel:

Aber leider gibt es hier ein kleines Problem.

Und zwar dreht sich in dieser Formel die Platte in positiver Richtung.

In unserem Fall aber nicht.

Um die Formel entsprechend anzupassen, müssen wir t mal –1 nehmen.

Vielleicht erinnert sich noch der eine oder andere an diese schrecklichen Formeln:

Die Platte braucht immer noch 4 Sekunden für eine Umdrehung, d. h. a=2.

Und jetzt wird es noch aufregender …


Weitere parametrische Kurven: die Zykloide

Wenn wir die Bahn eines Raumschiffs oder den Weg eines Teilchens beschreiben wollen, bringen uns gewöhnliche Funktionen nicht weiter. Was wir in solchen Fällen brauchen, sind parametrische Kurven.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Rad, das sich im Stand dreht.

Die Koordinaten eines sich darauf befindlichen Punktes:

Das wissen wir noch aus der Wespengeschichte von vorhin.

Das stimmt allerdings nur, wenn sich der Radmittelpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Wenn das Rad auf der x-Achse steht …

müssen wir zur y-Koordinate R addieren.

Und es gibt noch ein kleines Problem.

Die Umdrehung des Rads beginnt jetzt bei –pi/2.

Vielleicht erinnern wir uns noch an diese schrecklichen Formeln:

Ebenfalls aus der vorherigen Geschichte wissen wir, dass in der Formel a der halben Umdrehungszeit entspricht.

Wenn das Rad zum Beispiel in 4 Sekunden eine volle Umdrehung macht, dann a=2.

Und jetzt sehen wir uns die Bewegung des Punktes auf dem Rad an.

Wir wissen bereits: Wenn sich das Rad nicht in positiver Richtung …

sondern in negativer Richtung dreht, müssen wir t mit –1 multiplizieren.

Wenn sich das Rad also in negativer Richtung dreht …

setzen wir t mit negativem Vorzeichen ein.

Und jetzt bringen wir etwas Spannung in die Geschichte.

Wir stoßen das Rad an, und dieses beginnt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s zu rollen.

Der Punkt auf dem Rad beschreibt eine ziemlich interessante Bahn.

Diese Kurve nennen wir eine Zykloide.

Die Zykloide unterscheidet sich insoweit von der Kurve in unserem vorherigen Fall, dass sich die x-Koordinate hier mit 4 m/s bewegt.

Wie sieht wohl die Gleichung der Zykloide aus?

Wir müssen an der Kurve von vorhin nur wenig verändern:

Die einzige Änderung ist, dass sich die x-Koordinate mit 4 m/s vorwärts bewegt.

Zum Schluss bleibt nur noch eine Frage.

Wie viel Zeit braucht das Rad für eine volle Umdrehung?

Nun, das ist die Zeit, in der der Mittelpunkt des Rades von hier nach hier gelangt.

Und diese Entfernung entspricht genau dem Umfang des Rads.

In der Formel entspricht a genau der Hälfte der Umdrehungszeit.

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Mit diesen wunderbaren Formeln können wir sie noch ein bisschen umformen:

Eine Sache noch.

Wir führen einen neuen Parameter ein:

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Parametrische Kurven helfen uns, Bewegungen wie zum Beispiel diese zu beschreiben.

Diese Kurve heißt Zykloide und wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Beim Zurücklegen eines Bogens verändert sich der Parameter von 0 zu 2pi.

Die Gleichung der Kurve beschreibt die aktuelle Position des Punktes auf der Kurve.

Sehen wir uns zum Beispiel diesen Zeitpunkt an:

Die Ableitung der Kurve gibt die Geschwindigkeit des Punktes an.

Durch Einsetzen eines beliebigen t erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P für dieses t.

Die Gleichung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuellen Koordinaten des Punktes auf der Kurve:

Die Ableitung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuelle Geschwindigkeit des Punktes auf der Kurve:

Während das Rad rollt, verändert sich fortwährend die Geschwindigkeit des Punktes P.

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].


Ableitung parametrischer Kurven, Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge einer Kurve

Wenn wir die Bahn eines Raumschiffs oder den Weg eines Teilchens beschreiben wollen, bringen uns gewöhnliche Funktionen nicht weiter. Was wir in solchen Fällen brauchen, sind parametrische Kurven.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Rad, das sich im Stand dreht.

Die Koordinaten eines sich darauf befindlichen Punktes:

Das wissen wir noch aus der Wespengeschichte von vorhin.

Das stimmt allerdings nur, wenn sich der Radmittelpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Wenn das Rad auf der x-Achse steht …

müssen wir zur y-Koordinate R addieren.

Und es gibt noch ein kleines Problem.

Die Umdrehung des Rads beginnt jetzt bei –pi/2.

Vielleicht erinnern wir uns noch an diese schrecklichen Formeln:

Ebenfalls aus der vorherigen Geschichte wissen wir, dass in der Formel a der halben Umdrehungszeit entspricht.

Wenn das Rad zum Beispiel in 4 Sekunden eine volle Umdrehung macht, dann a=2.

Und jetzt sehen wir uns die Bewegung des Punktes auf dem Rad an.

Wir wissen bereits: Wenn sich das Rad nicht in positiver Richtung …

sondern in negativer Richtung dreht, müssen wir t mit –1 multiplizieren.

Wenn sich das Rad also in negativer Richtung dreht …

setzen wir t mit negativem Vorzeichen ein.

Und jetzt bringen wir etwas Spannung in die Geschichte.

Wir stoßen das Rad an, und dieses beginnt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s zu rollen.

Der Punkt auf dem Rad beschreibt eine ziemlich interessante Bahn.

Diese Kurve nennen wir eine Zykloide.

Die Zykloide unterscheidet sich insoweit von der Kurve in unserem vorherigen Fall, dass sich die x-Koordinate hier mit 4 m/s bewegt.

Wie sieht wohl die Gleichung der Zykloide aus?

Wir müssen an der Kurve von vorhin nur wenig verändern:

Die einzige Änderung ist, dass sich die x-Koordinate mit 4 m/s vorwärts bewegt.

Zum Schluss bleibt nur noch eine Frage.

Wie viel Zeit braucht das Rad für eine volle Umdrehung?

Nun, das ist die Zeit, in der der Mittelpunkt des Rades von hier nach hier gelangt.

Und diese Entfernung entspricht genau dem Umfang des Rads.

In der Formel entspricht a genau der Hälfte der Umdrehungszeit.

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Mit diesen wunderbaren Formeln können wir sie noch ein bisschen umformen:

Eine Sache noch.

Wir führen einen neuen Parameter ein:

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Parametrische Kurven helfen uns, Bewegungen wie zum Beispiel diese zu beschreiben.

Diese Kurve heißt Zykloide und wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Beim Zurücklegen eines Bogens verändert sich der Parameter von 0 zu 2pi.

Die Gleichung der Kurve beschreibt die aktuelle Position des Punktes auf der Kurve.

Sehen wir uns zum Beispiel diesen Zeitpunkt an:

Die Ableitung der Kurve gibt die Geschwindigkeit des Punktes an.

Durch Einsetzen eines beliebigen t erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P für dieses t.

Die Gleichung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuellen Koordinaten des Punktes auf der Kurve:

Die Ableitung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuelle Geschwindigkeit des Punktes auf der Kurve:

Während das Rad rollt, verändert sich fortwährend die Geschwindigkeit des Punktes P.

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].


Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge einer weiteren parametrischen Kurve

Wenn wir die Bahn eines Raumschiffs oder den Weg eines Teilchens beschreiben wollen, bringen uns gewöhnliche Funktionen nicht weiter. Was wir in solchen Fällen brauchen, sind parametrische Kurven.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Rad, das sich im Stand dreht.

Die Koordinaten eines sich darauf befindlichen Punktes:

Das wissen wir noch aus der Wespengeschichte von vorhin.

Das stimmt allerdings nur, wenn sich der Radmittelpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Wenn das Rad auf der x-Achse steht …

müssen wir zur y-Koordinate R addieren.

Und es gibt noch ein kleines Problem.

Die Umdrehung des Rads beginnt jetzt bei –pi/2.

Vielleicht erinnern wir uns noch an diese schrecklichen Formeln:

Ebenfalls aus der vorherigen Geschichte wissen wir, dass in der Formel a der halben Umdrehungszeit entspricht.

Wenn das Rad zum Beispiel in 4 Sekunden eine volle Umdrehung macht, dann a=2.

Und jetzt sehen wir uns die Bewegung des Punktes auf dem Rad an.

Wir wissen bereits: Wenn sich das Rad nicht in positiver Richtung …

sondern in negativer Richtung dreht, müssen wir t mit –1 multiplizieren.

Wenn sich das Rad also in negativer Richtung dreht …

setzen wir t mit negativem Vorzeichen ein.

Und jetzt bringen wir etwas Spannung in die Geschichte.

Wir stoßen das Rad an, und dieses beginnt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s zu rollen.

Der Punkt auf dem Rad beschreibt eine ziemlich interessante Bahn.

Diese Kurve nennen wir eine Zykloide.

Die Zykloide unterscheidet sich insoweit von der Kurve in unserem vorherigen Fall, dass sich die x-Koordinate hier mit 4 m/s bewegt.

Wie sieht wohl die Gleichung der Zykloide aus?

Wir müssen an der Kurve von vorhin nur wenig verändern:

Die einzige Änderung ist, dass sich die x-Koordinate mit 4 m/s vorwärts bewegt.

Zum Schluss bleibt nur noch eine Frage.

Wie viel Zeit braucht das Rad für eine volle Umdrehung?

Nun, das ist die Zeit, in der der Mittelpunkt des Rades von hier nach hier gelangt.

Und diese Entfernung entspricht genau dem Umfang des Rads.

In der Formel entspricht a genau der Hälfte der Umdrehungszeit.

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Mit diesen wunderbaren Formeln können wir sie noch ein bisschen umformen:

Eine Sache noch.

Wir führen einen neuen Parameter ein:

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Parametrische Kurven helfen uns, Bewegungen wie zum Beispiel diese zu beschreiben.

Diese Kurve heißt Zykloide und wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Beim Zurücklegen eines Bogens verändert sich der Parameter von 0 zu 2pi.

Die Gleichung der Kurve beschreibt die aktuelle Position des Punktes auf der Kurve.

Sehen wir uns zum Beispiel diesen Zeitpunkt an:

Die Ableitung der Kurve gibt die Geschwindigkeit des Punktes an.

Durch Einsetzen eines beliebigen t erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P für dieses t.

Die Gleichung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuellen Koordinaten des Punktes auf der Kurve:

Die Ableitung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuelle Geschwindigkeit des Punktes auf der Kurve:

Während das Rad rollt, verändert sich fortwährend die Geschwindigkeit des Punktes P.

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].


Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge der Zykloide

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].


Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge der Astroide

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].