Doppel- und Dreifachintegral

Bei Funktionen mit einer Variable geht es darum, einer reellen Zahl eine andere reelle Zahl zuzuordnen.

Der Graph der Funktion ist eine Linie.

Und ihr bestimmtes Integral von a bis b ist eine Fläche.

Bei Funktionen mit zwei Variablen geht es darum, zwei reellen Zahlen eine dritte reelle Zahl zuzuordnen.

Indem wir jedem Punkt des Definitionsbereichs diese dritte Koordinate (die Höhe) zuordnen, entsteht oberhalb der Ebene x,y eine Fläche: Das ist unsere Funktion.

Das bestimmte Integral einer Funktion mit zwei Variablen ist das Volumen eines Körpers.

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, der Integration eines rechteckigen Gebiets:

auf der x-Achse von a bis b und auf der y-Achse von c bis d.

Es spielt keine Rolle, ob wir beim Schreiben erst die y-Grenzen und dann die x-Grenzen angeben,

oder umgekehrt.

Wir müssen nur eines beachten: Das Doppelintegral hat eine „Zwiebelstruktur“. Es hat eine äußere und eine innere Schicht.

Wenn wir die Grenzen für y voranstellen, kommt dy ans Ende.

Wir können selbstverständlich auch mit den Grenzen für x beginnen – dann kommt dx ans Ende.

Wenn wir zum Beispiel dieses Doppelintegral berechnen wollen, können die x-Grenzen vorn stehen …

aber genauso gut auch die y-Grenzen.

Die Berechnung erfolgt auf jeden Fall immer von innen nach außen. Wir kümmern uns zuerst um den inneren Teil – hier die Integration nach x.

Das Integrieren nach x geht so, dass wir die Terme mit x integrieren und y als Konstante betrachten.

x wird integriert und  wird als konstanter Multiplikator betrachtet.

 gilt ebenfalls als konstanter Multiplikator.

Nachdem das nun geschafft ist, setzen wir diese Zahlen ein.

Es ist aber nicht egal, ob wir sie für x oder y einsetzen. Da wir nach x integriert haben, setzen wir sie für x ein.

Das hätten wir – jetzt kommt die äußere Integration.

Diesmal nach y.

Zum Schluss wird eingesetzt.

Wir haben nach y integriert, also setzen wir für y ein. Eine andere Wahl haben wir sowieso nicht.

Und schon sind wir fertig.

Jetzt wollen wir sehen, was passiert, wenn wir nicht über ein Rechteck, sondern zum Beispiel über ein Dreieck integrieren möchten.

Diese 3D-Darstellungen sind beeindruckend …

nur haben sie leider außer der schönen Optik keinen wirklichen Nutzen.

Ein Diagramm aus der Draufsicht bringt uns viel weiter.

Wir integrieren nach x von 0 bis 2.

Wenn auch die Integration nach y von 0 bis 2 geht, erhalten wir ein Rechteck …

Und das wollen wir ja eben nicht – wir möchten über das Dreieck integrieren.

Auf das Dreieck kommen wir, indem wir bei der Integration nach y 0 und  als Grenzen einsetzen.

Und jetzt kommt die Integration.

Die Grenzen der äußeren Integration sollten niemals x oder y enthalten.

Zum Glück können wir die Reihenfolge jederzeit vertauschen.

Wir beginnen immer mit der inneren Integration.

Das ist hier die Integration nach y. y wird also integriert, und x wird als Konstante betrachtet.

Integrieren wir also die Funktion über dieses Gebiet.

Mithilfe der Doppelintegrale können wir das Volumen unter verschiedenen Flächen berechnen.

Spannend wird es dann, wenn wir über ein Gebiet integrieren, das durch Funktionen mit einer Variable berandet wird.

Nehmen wir zum Beispiel das hier. Die Grenzen für x sind  und ,

und die Grenzen für y sind zwei Funktionen:  und

Diese Funktionen können zum Beispiel Parabeln sein …

oder auch Funktionen, die einen Kreis beschreiben.

Einen Kreis mit dem Radius 2.

Wie war nochmal die Gleichung des Kreises:

Für  gilt dann:

Wenn wir wissen wollen, wie die Berandungsfunktionen aussehen, müssen wir hier nach y auflösen.

Integrieren wir die Funktion  über diesen Kreis.

Es sieht nicht sonderlich gut aus.

Das größte Problem bei dieser Integration ist, dass sie schwierig ist. Und schwierig ist sie deswegen, weil sie hässliche Wurzelausdrücke enthält.

Schuld an den Wurzelausdrücken ist wiederum der Kreis.

Zum Glück gibt es genau für diese Kreisfälle eine großartige Methode, die das Integrieren unglaublich vereinfacht.

Es handelt sich um eine Art Substitutionsverfahren, das genau auf die Eigenschaften des Kreises zugeschnitten ist.

Bei der Methode geht es darum, dass wir im Kreis statt der herkömmlichen x/y-Koordinaten neue Koordinaten einführen.

Die eine Koordinate gibt an, wie weit wir vom Kreismittelpunkt entfernt sind; wir nennen sie r.

Die andere Koordinate ist ein Drehwinkel, genannt … Theta, das geschrieben so aussieht:

Die neuen Koordinaten heißen Polarkoordinaten und die Methode heißt Polarkoordinatensubstitution.

Die Beziehung zwischen alten und neuen Koordinaten ist wie folgt:

Wir erhalten alle Punkte des Kreises, wenn  den gesamten Kreis durchläuft,

von 0 bis  …

während r das Intervall von 0 bis 2 durchläuft.

Die Polarkoordinatensubstitution führt zu grundlegenden Änderungen beim Integrieren.

Die Substitution erfolgt nach dieser Formel:

Die bestimmte Integration von Konstanten ist sehr einfach:

Versuchen wir jetzt, dieselbe Funktion über diesen Halbkreis zu integrieren.

In einem solchen Fall wird besonders deutlich, dass die Polarkoordinaten und der Kreis füreinander bestimmt sind.

Mit den herkömmlichen x- und y-Koordinaten wäre diese Integration eine Qual.

Aber so müssen wir nur die Winkel ändern,

und schon sind wir fertig.

Wir machen gleich mit der nächsten Aufgabe weiter.

Integrieren wir die Funktion f(x,y) über das Gebiet D.

Dann setzen wir für y die Grenzen ein.

Und das Ergebnis integrieren wir nach x.

Die Fortsetzung wird noch spannender …

Mithilfe der Doppelintegrale können wir das Volumen unter verschiedenen Flächen berechnen.

Der einfachste Fall ist die Integration über ein Rechteck. Die Integrationsgrenzen sind dann konkrete Zahlen.

Die Reihenfolge kann vertauscht werden: Es ist egal, ob wir erst die x-Grenzen und dann die y-Grenzen angeben oder umgekehrt.

Spannender wird es dann, wenn wir nicht über ein Rechteck integrieren wollen, sondern zum Beispiel über dieses dreieckige Gebiet.

In einem solchen Fall schafft ein Bild aus der Draufsicht Klarheit.

Die Grenzen für x sind in unserem Diagramm 0 und 2.

Die Grenzen für y sind jedoch nicht 0 und 2, denn das würde ein Rechteck ergeben …

Um ein Dreieck zu erhalten, müssen für y die Grenzen 0 und  gesetzt werden.

Die y-Grenze ist also eine Funktion.

In unserem Fall ist nur die obere Grenze eine Funktion, aber es spricht nichts dagegen, auch für die untere Grenze eine Funktion zu verwenden.

Zum Beispiel .

Integrieren wir auf diesem Gebiet beispielsweise die Funktion

Wir beginnen immer mit der inneren Integration.

Wir integrieren also zuerst nach y.

x wird hier als Konstante betrachtet.

Und jetzt folgt die Integration nach x.

Aber erst fassen wir ein wenig zusammen.

Das war jetzt gar nicht so wenig …

Puh, das war alles andere als angenehm.

Hoffentlich ist die nächste Aufgabe etwas einfacher …

Integrieren wir die Funktion  über das Gebiet D.

Manchmal lässt sich die Berandungsfunktion nur durch y beschreiben.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Gebiet.

Wir könnten zwar versuchen, die Berandungsfunktion nach y aufzulösen, aber das lohnt die Mühe nicht.

Wir würden uns nur eine Menge unnötige Arbeit einhandeln:

Wir bleiben also lieber bei der ursprünglichen Funktion und nehmen in Kauf, dass diesmal die y-Grenzen konkrete Zahlen sind.

Dank der Polarkoordinatensubstitution sind alle hässlichen Wurzelausdrücke verschwunden – geblieben ist die einfachste Integration aller Zeiten.

Besonders, wenn wir wissen, dass

Aber die Polarkoordinatensubstitution kann noch mehr.

Versuchen wir jetzt, dieselbe Funktion über einen Kreisring zu integrieren – d. h. einer Kreisfläche mit einem Loch in der Mitte.

Noch besser: Nehmen wir einen halben Kreisring.

Dank der Polarkoordinatensubstitution lassen sich diese auf den ersten Blick recht komplizierte Situationen erstaunlich einfach handhaben.

Wir müssen nur den Winkel angeben,

und den Radius.

Und das war’s auch.

Bei den Polarkoordinaten geht es darum, dass wir die Koordinaten x und y durch neue Koordinaten ersetzen.

In der Welt der Kreise, Kugeln und Zylinder tun wir uns nämlich mit den Ecken und Kanten des x/y-Koordinatensystems keinen Gefallen.

Es ist sinnvoller, auf ein Koordinatensystem zu setzen, das besser zu den Eigenschaften des Kreises passt.

Innerhalb eines Kreises sind die wichtigsten Merkmale der Abstand vom Mittelpunkt und der Drehwinkel.

Die eine Koordinate gibt deshalb an, wie weit wir vom Kreismittelpunkt entfernt sind; wir nennen sie r.

Die andere Koordinate ist ein Drehwinkel, genannt … Theta, das geschrieben so aussieht:

Die Beziehung zwischen alten und neuen Koordinaten ist wie folgt:

Wir erhalten alle Punkte eines Kreises mit dem Radius R, wenn  den gesamten Kreis durchläuft,

von 0 bis  …

während r das Intervall von 0 bis R durchläuft.

Einer der Vorteile der Polarkoordinatensubstitution liegt darin, dass sie die komplexen Integrationen über einen Kreis oder ein kreisförmiges Gebilde unglaublich vereinfacht.

Die Substitution erfolgt nach folgender Formel:

Und jetzt sehen wir uns einige konkrete Fälle an.

Integrieren wir die folgende Funktion über das Gebiet :

Sehen wir uns das Gebiet einmal näher an.

Die bestimmte Integration von Konstanten ist sehr einfach: