Unbestimmte Integration, Stammfunktion

Inhalt des Themas


Was ist die Integration?

Es wird Zeit, dass wir uns die Integration vornehmen. Und zwar gleich zwei Arten davon: die bestimmte und die unbestimmte Integration.

Die bestimmte Integration befasst sich mit der Berechnung von Flächen unterhalb von Funktionskurven.

Hier ist eine Funktion:

Der Flächeninhalt zwischen a und b unterhalb der Funktionskurve beträgt:

Die unbestimmte Integration funktioniert ganz anders.

Unbestimmt heißt sie deswegen, weil es keine a- und b-Grenzen für die Integration gibt – stattdessen integrieren wir einfach so darauf los:

Das unbestimmte Integral von f(x) ist eine Funktion, die als Stammfunktion bezeichnet wird.

Die Stammfunktion heißt F(x) und hat die Eigenschaft, dass sie abgeleitet wieder f(x) ergibt.

Die unbestimmte Integration ist damit nichts anderes als die Umkehrung der Ableitung (Differenzierung).

Deswegen nennt man sie manchmal auch Antidifferenzierung.

Sehen wir uns einige Beispiele an.

Etwa das hier:

Wir brauchen eine Funktion, deren Ableitung 2x ist.

Eine solche Funktion gibt es, sie heißt

Hier ist die nächste Funktion:

Es gibt auch eine Funktion mit der Ableitung

Erinnern wir uns noch daran?

Von Absolutbeträgen haben wir schon mal gehört, also macht es uns nichts aus, dass wir den Betrag auch hier brauchen. Der Grund ist, dass wir die Funktion

auch für negative x-Werte integrieren wollen.

lnx verträgt sich aber nur mit positiven x-Werten, und genau dieses kleine Problem lösen wir mit dem Betrag.

Aber es genügt, wenn wir uns merken, dass

Zum Schluss noch eins:

Welche Funktion ergibt differenziert x²?

Das kommt fast hin – wir müssen es nur noch durch 3 teilen.

Eine Sache noch. Wenn wir x² differenzieren, erhalten wir natürlich 2x, aber

Nach x² kann also eine beliebige Konstante stehen.

Und hier auch, und hier ebenfalls.

Jetzt wollen wir mal sehen, welche Verbindung es zwischen der bestimmten und der unbestimmten Integration gibt.

Der Satz, der diese Verbindung beschreibt, ist eines der wichtigsten Theoreme der gesamten Mathematikgeschichte.

Der englische Physiker Newton und der deutsche Philosoph Leibniz kamen Ende des 17. Jahrhunderts gleichzeitig darauf.

Wenn f(x) im Intervall [a,b] integriert werden kann und in diesem Intervall eine Stammfunktion hat, dann

Das hier bezeichnet die Änderung der Stammfunktion, das heißt, wir müssen zuerst b einsetzen und daraus dann die Funktion nach Einsetzen von a abziehen.

Probieren wir aus, wie die Formel konkret funktioniert. Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve x² zwischen den Punkten 0 und 1.

Hier ist die Stammfunktion. Wir brauchen ihre Veränderung zwischen 0 und 1.

Ein Problem gibt es nur, wenn wir keine Stammfunktion finden.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve

zwischen 0 und 1.

Wir schreiben auf, was wir integrieren müssten – bis dahin alles easy.

Aber dass wir keine Ahnung haben, was die Stammfunktion sein könnte, ist schon ein Problem.

Die Schwierigkeit liegt offensichtlich in der Suche nach Stammfunktionen, also in der unbestimmten Integration.

Es wird daher Zeit, dass wir unsere Fähigkeiten in dieser Hinsicht etwas erweitern.

Die Suche nach Stammfunktionen beginnen wir damit, dass wir uns die Ableitung einiger wichtiger Funktionen in Erinnerung rufen.

Nehmen wir gleich die Funktion xn:

Beim Differenzieren nimmt der Exponent um 1 ab. Beim Integrieren nimmt der Exponent um 1 zu.

Das lässt uns kurz stutzen:

Aber keine Bange, die Lösung ist schon unterwegs.

Dann kommt ein Musterbeispiel an Beständigkeit.

Die Liste wird lang.

Und das ist erst der Anfang. Zunächst müssen wir aber einige wichtige Dinge klären.

Hier ist das erste:

 aber  

Und hier ist das zweite:

Was könnte das sein?

Es scheint logisch, dass

Ein kleines Problem gibt es aber noch.

Die Integration ist die Umkehrung der Differenzierung. Wenn wir also eine Funktion integrieren und dann differenzieren, müssen wir exakt die ursprüngliche Funktion erhalten. Hier ist das aber nicht der Fall.

Wir bekommen nicht die ursprüngliche Funktion zurück, weil beim Differenzieren dieser Faktor 3 auftaucht.

Aber wir wissen uns zu helfen: Wir teilen durch 3.

Wenn im Exponenten ein Ausdruck vom Typ ax+b auftaucht,

dann multiplizieren wir beim Integrieren mit

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Hier steht der Ausdruck ax+b nicht im Exponenten, sondern im Nenner.

Diese Methode werden wir häufig benötigen, wir sollten sie uns daher gut merken.


Grundintegrale und einfachere Integrationen

Es wird Zeit, dass wir uns die Integration vornehmen. Und zwar gleich zwei Arten davon: die bestimmte und die unbestimmte Integration.

Die bestimmte Integration befasst sich mit der Berechnung von Flächen unterhalb von Funktionskurven.

Hier ist eine Funktion:

Der Flächeninhalt zwischen a und b unterhalb der Funktionskurve beträgt:

Die unbestimmte Integration funktioniert ganz anders.

Unbestimmt heißt sie deswegen, weil es keine a- und b-Grenzen für die Integration gibt – stattdessen integrieren wir einfach so darauf los:

Das unbestimmte Integral von f(x) ist eine Funktion, die als Stammfunktion bezeichnet wird.

Die Stammfunktion heißt F(x) und hat die Eigenschaft, dass sie abgeleitet wieder f(x) ergibt.

Die unbestimmte Integration ist damit nichts anderes als die Umkehrung der Ableitung (Differenzierung).

Deswegen nennt man sie manchmal auch Antidifferenzierung.

Sehen wir uns einige Beispiele an.

Etwa das hier:

Wir brauchen eine Funktion, deren Ableitung 2x ist.

Eine solche Funktion gibt es, sie heißt

Hier ist die nächste Funktion:

Es gibt auch eine Funktion mit der Ableitung

Erinnern wir uns noch daran?

Von Absolutbeträgen haben wir schon mal gehört, also macht es uns nichts aus, dass wir den Betrag auch hier brauchen. Der Grund ist, dass wir die Funktion

auch für negative x-Werte integrieren wollen.

lnx verträgt sich aber nur mit positiven x-Werten, und genau dieses kleine Problem lösen wir mit dem Betrag.

Aber es genügt, wenn wir uns merken, dass

Zum Schluss noch eins:

Welche Funktion ergibt differenziert x²?

Das kommt fast hin – wir müssen es nur noch durch 3 teilen.

Eine Sache noch. Wenn wir x² differenzieren, erhalten wir natürlich 2x, aber

Nach x² kann also eine beliebige Konstante stehen.

Und hier auch, und hier ebenfalls.

Jetzt wollen wir mal sehen, welche Verbindung es zwischen der bestimmten und der unbestimmten Integration gibt.

Der Satz, der diese Verbindung beschreibt, ist eines der wichtigsten Theoreme der gesamten Mathematikgeschichte.

Der englische Physiker Newton und der deutsche Philosoph Leibniz kamen Ende des 17. Jahrhunderts gleichzeitig darauf.

Wenn f(x) im Intervall [a,b] integriert werden kann und in diesem Intervall eine Stammfunktion hat, dann

Das hier bezeichnet die Änderung der Stammfunktion, das heißt, wir müssen zuerst b einsetzen und daraus dann die Funktion nach Einsetzen von a abziehen.

Probieren wir aus, wie die Formel konkret funktioniert. Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve x² zwischen den Punkten 0 und 1.

Hier ist die Stammfunktion. Wir brauchen ihre Veränderung zwischen 0 und 1.

Ein Problem gibt es nur, wenn wir keine Stammfunktion finden.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve

zwischen 0 und 1.

Wir schreiben auf, was wir integrieren müssten – bis dahin alles easy.

Aber dass wir keine Ahnung haben, was die Stammfunktion sein könnte, ist schon ein Problem.

Die Schwierigkeit liegt offensichtlich in der Suche nach Stammfunktionen, also in der unbestimmten Integration.

Es wird daher Zeit, dass wir unsere Fähigkeiten in dieser Hinsicht etwas erweitern.

Die Suche nach Stammfunktionen beginnen wir damit, dass wir uns die Ableitung einiger wichtiger Funktionen in Erinnerung rufen.

Nehmen wir gleich die Funktion xn:

Beim Differenzieren nimmt der Exponent um 1 ab. Beim Integrieren nimmt der Exponent um 1 zu.

Das lässt uns kurz stutzen:

Aber keine Bange, die Lösung ist schon unterwegs.

Dann kommt ein Musterbeispiel an Beständigkeit.

Die Liste wird lang.

Und das ist erst der Anfang. Zunächst müssen wir aber einige wichtige Dinge klären.

Hier ist das erste:

 aber  

Und hier ist das zweite:

Was könnte das sein?

Es scheint logisch, dass

Ein kleines Problem gibt es aber noch.

Die Integration ist die Umkehrung der Differenzierung. Wenn wir also eine Funktion integrieren und dann differenzieren, müssen wir exakt die ursprüngliche Funktion erhalten. Hier ist das aber nicht der Fall.

Wir bekommen nicht die ursprüngliche Funktion zurück, weil beim Differenzieren dieser Faktor 3 auftaucht.

Aber wir wissen uns zu helfen: Wir teilen durch 3.

Wenn im Exponenten ein Ausdruck vom Typ ax+b auftaucht,

dann multiplizieren wir beim Integrieren mit

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Hier steht der Ausdruck ax+b nicht im Exponenten, sondern im Nenner.

Diese Methode werden wir häufig benötigen, wir sollten sie uns daher gut merken.


Integrationsregeln

Und jetzt wird es wieder spannend!

Integrieren ist viel lustiger als Differenzieren.

Hier haben wir zum Beispiel ein Produkt.

Das Differenzieren ist sehr einfach. Wir müssen uns eine einzige Regel merken, die wir dann auf jedes Produkt anwenden können.

Das Integrieren ist wesentlich aufregender.

Wir werden mindestens fünf verschiedene Regeln lernen, und wir müssen herausfinden, welche Methode wir wann verwenden sollen.

Eine kleine Änderung, und schon brauchen wir eine andere Methode.

Langweilig wird es also sicher nicht.

Um diese Anfangsschwierigkeiten zu überwinden, beginnen wir mit den einfachsten Integrationsregeln und stoßen dann langsam zu den komplexeren Regeln vor.

Und jetzt wollen wir mal die Regeln sehen.

INTEGRATIONSREGELN

Die erste Regel ist wie beim Differenzieren. Ein konstanter Multiplikator kann ausgeklammert werden.

Die zweite Regel betrifft die Integration von Summen. Auch hier ist noch alles wie beim Differenzieren: Die Summanden werden einzeln integriert.

Die Regel für Produkte ist da schon spannender. Eine solche Regel gibt es nämlich nicht.

Beim Integrieren eines Produkts können wir zwischen mehreren Methoden wählen. Genau genommen sind es fünf Methoden.

Dabei sollten wir wissen, wann wir welche Regel benötigen – der Münzwurf bringt uns nicht weit.

Aber zum Glück gibt es für jede dieser Methoden eine eigene Bilderreihe, die uns zeigt, wann und wie die Methode anzuwenden ist.

Dasselbe gilt für Brüche. Auch für das Integrieren von Brüchen werden wir mehrere Methoden kennenlernen. Ungefähr drei Stück.

Und für verkettete Funktionen gibt es auch mindestens zwei Methoden.

Am besten legen wir gleich los.

Wenn die Multiplikation durchführbar ist, dann multiplizieren wir und integrieren erst danach.

Das war wohl nicht die schwierigste Integration unseres Lebens.

Und das auch nicht:

Es wird Zeit für etwas Interessanteres.

Nehmen wir uns also die nächste Integrationsregel vor.


Integration einfacher Produkte – S1

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Hier ist die nächste Funktion.

Und die dritte.

Manchmal braucht es ein bisschen Anstrengung, bis alles stimmt.

Zum Beispiel hier:

Beginnen wir mit der Identifizierung.

Hier bräuchten wir 6 als Multiplikator.

Dann multiplizieren wir eben mit 6 innerhalb des Integrals, und vor dem Integralzeichen teilen wir entsprechend.

Was könnte noch kommen?

Hier müssen wir noch ein wenig Hand anlegen, und schon sind wir fertig.

Und jetzt das Nächste.

Es gibt auch knifflige Fälle.

fα ist hier im Nenner, und erst müssen wir sie nach oben befördern.

Erst dann können wir unsere Formel einsetzen.

Hier kommt das Nächste.

Und noch eins.

Zum Schluss sehen wir uns noch ein paar Zaubertricks an.


Integration schwierigerer Produkte – S2

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Hier ist die nächste Funktion.

Und die dritte.

Manchmal braucht es ein bisschen Anstrengung, bis alles stimmt.

Zum Beispiel hier:

Beginnen wir mit der Identifizierung.

Hier bräuchten wir 6 als Multiplikator.

Dann multiplizieren wir eben mit 6 innerhalb des Integrals, und vor dem Integralzeichen teilen wir entsprechend.

Was könnte noch kommen?

Hier müssen wir noch ein wenig Hand anlegen, und schon sind wir fertig.

Und jetzt das Nächste.

Es gibt auch knifflige Fälle.

fα ist hier im Nenner, und erst müssen wir sie nach oben befördern.

Erst dann können wir unsere Formel einsetzen.

Hier kommt das Nächste.

Und noch eins.

Zum Schluss sehen wir uns noch ein paar Zaubertricks an.


Die partielle Integration – S3

Die partielle Integration wurde für das Integrieren von Produkten erfunden (und wird deshalb auch Produktintegration genannt).

„Partiell“ deswegen, weil wir das Produkt in seinen Teilen einzeln integrieren werden.

Wie läuft das genau ab?

Zuerst müssen wir die Rollen verteilen.

Ein Faktor spielt die Rolle des f, und der andere die Rolle des g'.

Eine Entscheidung per Münzwurf wäre wenig ratsam.

Zur richtigen Verteilung der Rollen brauchen wir eine zündende Idee.

Probieren wir es zuerst so.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

Die Rollenverteilung ist dann gelungen, wenn wir dieses Ziel erreichen.

Diesmal hat es nicht geklappt.

Das neue Integral ist komplizierter als das Original: Es enthält x² anstelle von x.

Was haben wir falsch gemacht?

Bei der Rollenverteilung gibt es ja ein f und ein g'.

f wird differenziert, g' integriert, und das Ergebnis kommt dann in das neue Integral.

Wenn x die Rolle des g' erhält, dann wird x integriert und bekommt so einen höheren Exponenten.

Wenn wir x die Rolle des f geben, dann wird x differenziert, und sein Exponent wird niedriger.

Niedriger ist besser für uns.

Wir müssen also die Rollen umgekehrt verteilen.

Bei dieser Rollenverteilung wird x nach dem Differenzieren zu 1.

ex lässt sich durch nichts erschüttern, er bleibt genauso ex wie vorhin.

Und schon haben wir unser Ziel erreicht: Das neue Integral ist tatsächlich einfacher.

Sehen wir uns noch eine Aufgabe an.

Aufgrund der bisherigen Erfahrungen scheint f=x2 die richtige Wahl zu sein.

Ziel erreicht: Wir haben aus einem komplizierten ein einfacheres Integral gemacht.

Aber es ist noch immer nicht einfach genug, also führen wir wieder eine partielle Integration durch.

Aus den bisherigen Aufgaben ist klar geworden, dass es sich lohnt, immer dem Ausdruck xn die Rolle des f zu geben.

Das notieren wir uns.

ROLLENVERTEILUNG:

Aber es wäre zu schön, wenn es keine Ausnahmen gäbe.

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Unsere Notizen empfehlen uns diese Rollenverteilung.

Nur führt das leider zu nichts. Wer es nicht glaubt, probiert es selber.

Wir kehren also die Rollenverteilung um.

Wir erweitern unsere Liste.

Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern:

Und noch etwas.

Hier sind einige Funktionen aus der Liste der Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern.

Versuchen wir mal, sie zu integrieren.

Wir brauchen einen kleinen Trick.

Wir führen eine partielle Integration durch. Wir nennen die Funktion gemäß unserer Liste f – und jetzt kommt der Trick: g'=1

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

In der vorherigen Bilderreihe haben wir gesehen, wie die partielle Integration funktioniert. Jetzt können wir ein paar richtig coole Aufgaben lösen.

Zum Beispiel diese:

=f  · g- f f’·g

Und jetzt noch eine.

                                             f f·g’ =f·g- f f’·g

Partielle Integration mit Rollenverteilung:

 =f · g - f f’·g

Und die nächste Aufgabe:

Es gibt die Formel

Vorsicht mit der partiellen Integration, in großen Mengen kann sie schädlich sein.

Aber eine Aufgabe geht noch.

Es gibt diese Formel:

Und diese gibt es auch:

  =f · g - f f’·g

Bei der partiellen Integration geht es also darum, ein komplexeres Integral in ein einfacheres zu verwandeln.

Die Überführung eines komplexen Integrals in ein einfacheres Integral nennen wir Reduktion.

Hier folgen einige Reduktionsformeln. Eigentlich ist es sinnlos, sich diese Formeln zu merken, denn wir können sie jederzeit wieder berechnen.

Sie helfen uns aber, einige besonders hartnäckige Integrale zu knacken.


Die partielle Integration (Fortsetzung) – S3

Die partielle Integration wurde für das Integrieren von Produkten erfunden (und wird deshalb auch Produktintegration genannt).

„Partiell“ deswegen, weil wir das Produkt in seinen Teilen einzeln integrieren werden.

Wie läuft das genau ab?

Zuerst müssen wir die Rollen verteilen.

Ein Faktor spielt die Rolle des f, und der andere die Rolle des g'.

Eine Entscheidung per Münzwurf wäre wenig ratsam.

Zur richtigen Verteilung der Rollen brauchen wir eine zündende Idee.

Probieren wir es zuerst so.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

Die Rollenverteilung ist dann gelungen, wenn wir dieses Ziel erreichen.

Diesmal hat es nicht geklappt.

Das neue Integral ist komplizierter als das Original: Es enthält x² anstelle von x.

Was haben wir falsch gemacht?

Bei der Rollenverteilung gibt es ja ein f und ein g'.

f wird differenziert, g' integriert, und das Ergebnis kommt dann in das neue Integral.

Wenn x die Rolle des g' erhält, dann wird x integriert und bekommt so einen höheren Exponenten.

Wenn wir x die Rolle des f geben, dann wird x differenziert, und sein Exponent wird niedriger.

Niedriger ist besser für uns.

Wir müssen also die Rollen umgekehrt verteilen.

Bei dieser Rollenverteilung wird x nach dem Differenzieren zu 1.

ex lässt sich durch nichts erschüttern, er bleibt genauso ex wie vorhin.

Und schon haben wir unser Ziel erreicht: Das neue Integral ist tatsächlich einfacher.

Sehen wir uns noch eine Aufgabe an.

Aufgrund der bisherigen Erfahrungen scheint f=x2 die richtige Wahl zu sein.

Ziel erreicht: Wir haben aus einem komplizierten ein einfacheres Integral gemacht.

Aber es ist noch immer nicht einfach genug, also führen wir wieder eine partielle Integration durch.

Aus den bisherigen Aufgaben ist klar geworden, dass es sich lohnt, immer dem Ausdruck xn die Rolle des f zu geben.

Das notieren wir uns.

ROLLENVERTEILUNG:

Aber es wäre zu schön, wenn es keine Ausnahmen gäbe.

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Unsere Notizen empfehlen uns diese Rollenverteilung.

Nur führt das leider zu nichts. Wer es nicht glaubt, probiert es selber.

Wir kehren also die Rollenverteilung um.

Wir erweitern unsere Liste.

Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern:

Und noch etwas.

Hier sind einige Funktionen aus der Liste der Fälle, die eine umgekehrte Rollenverteilung erfordern.

Versuchen wir mal, sie zu integrieren.

Wir brauchen einen kleinen Trick.

Wir führen eine partielle Integration durch. Wir nennen die Funktion gemäß unserer Liste f – und jetzt kommt der Trick: g'=1

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Mit der partiellen Integration versuchen wir, aus einem komplizierten Integral ein einfacheres Integral zu machen.

In der vorherigen Bilderreihe haben wir gesehen, wie die partielle Integration funktioniert. Jetzt können wir ein paar richtig coole Aufgaben lösen.

Zum Beispiel diese:

=f  · g- f f’·g

Und jetzt noch eine.

                                             f f·g’ =f·g- f f’·g

Partielle Integration mit Rollenverteilung:

 =f · g - f f’·g

Und die nächste Aufgabe:

Es gibt die Formel

Vorsicht mit der partiellen Integration, in großen Mengen kann sie schädlich sein.

Aber eine Aufgabe geht noch.

Es gibt diese Formel:

Und diese gibt es auch:

  =f · g - f f’·g

Bei der partiellen Integration geht es also darum, ein komplexeres Integral in ein einfacheres zu verwandeln.

Die Überführung eines komplexen Integrals in ein einfacheres Integral nennen wir Reduktion.

Hier folgen einige Reduktionsformeln. Eigentlich ist es sinnlos, sich diese Formeln zu merken, denn wir können sie jederzeit wieder berechnen.

Sie helfen uns aber, einige besonders hartnäckige Integrale zu knacken.


Integration verketteter Funktionen – S4

Diese Formel bezieht sich eigentlich auf die Integration verketteter Funktionen. Mit verketteten Funktionen ist es aber leider so, dass ihre Integration meist ein hoffnungsloses Unterfangen ist.

Unter den folgenden Funktionen hat keine einzige eine Stammfunktion:

Daher können wir diese Integrale leider nicht berechnen. Und nicht weil wir heute einen schlechten Tag haben, sondern weil es schlicht nicht geht. Hoffnung besteht dann, wenn eine solche Funktion mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert ist.

Wir merken uns einige Sonderfälle

Und hier sind ein paar Aufgaben dazu.

Manchmal braucht es ein bisschen Anstrengung, bis alles stimmt.

   alak eléréséhez. [EB1] 

Es gibt generell zwei Möglichkeiten.

Im einfacheren Fall weicht der Integrand nur durch eine Konstante vom erhofften Zustand ab; im schwierigeren Fall sind auch die Terme mit x unterschiedlich.

Eine abweichende Konstante lässt sich leicht korrigieren:

BEISPIELE:

Der zweite Fall ist wesentlich unangenehmer. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Auf den ersten Blick sieht das nach einer Aufgabe vom Typ

aus, aber es gibt einen kleinen Haken.

Hier sollte die Ableitung des Exponenten stehen, aber die Ableitung von x² ist 2x.

Es liegt nahe, die 2x, die dort fehlen, einfach hier zu ergänzen.

Dadurch verändern wir natürlich die Aufgabe. Damit das nicht passiert, müssen wir eine Multiplikation mit 2x durch eine entsprechende Division ausgleichen.

Jetzt haben wir mit 2x multipliziert und durch 2x geteilt, die ursprüngliche Aufgabe bleibt somit erhalten.

Dafür haben wir jetzt hier die Ableitung des Exponenten und können integrieren.

Die Frage ist nur, was wir mit diesem Teil anfangen sollen.

Wir führen eine partielle Integration durch.

Hier integrieren wir noch ein bisschen, und schon sind wir fertig.

 [EB1]Nem teljes mondat, a HTML-ben nem találtam.


Bereit für Brüche? – T1

Wir zerlegen den Bruch vor dem Integrieren.

Die Zerlegung empfiehlt sich vor allem, wenn der Nenner keine Summe enthält.

Aber selbst dann funktioniert die Methode manchmal.

Natürlich gibt es auch knifflige Fälle.

So viel zum Thema Zerlegung.


Eine wichtige Regel – T2

T2

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Wir differenzieren

Nächste Aufgabe:

Manchmal ist der Zähler nicht ganz identisch mit der Ableitung des Nenners, aber fast.

In einem solchen Fall holen wir uns die benötigte Eingebung durch Differenzieren des Nenners. Wir vergleichen das Ergebnis mit dem Zähler, und schon wissen wir, was uns zum Erfolg fehlt.

Der Zähler enthält nur x, aber wir brauchen 4x.

Wir multiplizieren den Zähler mit 4 und teilen dafür vor dem Integralzeichen durch 4.

Zu wenig x im Zähler ist nur eines der möglichen Probleme – zu viel davon ist genauso schlecht.

Die Ableitung des Nenners ist , aber der Zähler enthält , was zu viel des Guten ist. Deshalb klammern wir den Multiplikator 3 aus.

Und dann gibt es noch die ganz vertrackten Fälle.

Es gibt noch andere interessante Fälle.

INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Bei der Integration durch Substitution geht es darum, einen Ausdruck durch u zu ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den gesamten Wurzelausdruck in u umzubenennen.

NÜTZLICHE SUBSTITUTIONEN

Alles gut soweit. Jetzt lösen wir nach x auf.

Das können wir dann hoffentlich hier einsetzen.

Aber einen Haken gibt es leider doch:

Wir müssen auch dx ersetzen, und zwar wie folgt.

Das aufgelöste x leiten wir nach u ab.

Sollte jemand jetzt verwundert schauen – keine Sorge, ich kann alles erklären.

Die Sache ist, dass vor ganz langer Zeit die Menschen noch nicht die bekannte f'-Notation für die Ableitung nutzten. Stattdessen schrieben sie

Manche Leute nutzen diese Schreibweise noch heute.

Später wurden die Bezeichnungen vereinfacht, aber aus einem rätselhaften Grund

hat man die alte Schreibweise bei der Integration durch Substitution beibehalten.

Finden wir uns also damit ab, dass die Ableitung des aufgelösten x nicht wie üblich

ist, sondern

Hoffentlich wird das niemandem schlaflose Nächte bereiten.

Und jetzt kommt die Substitution.

Fertig.

Sehen wir uns noch eine ähnliche Aufgabe an.

Die Substitutionsregel kann auch bei ganz unhandlichen Kettenfunktionen nützlich sein.

In solchen Fällen nennen wir meist die innere Funktion in u um.

Jetzt kommt eine partielle Integration.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Erst müssen wir nach x auflösen.

Ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Wir kennen die Formel

und das war’s auch schon.

Jetzt müssen wir nur noch nach u ableiten.

Jetzt kommt die Substitution.

Dann wird integriert. Die Ableitung des Nenners

ist nichts anderes als der Zähler.

Natürlich gibt es bei der Substitution auch heiklere Fälle.

Welche das sind, sehen wir gleich in der nächsten Bilderreihe – die allerdings nichts für schwache Nerven ist!

Die Integration durch Substitution funktioniert so, dass wir einen Ausdruck durch u ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Bisher haben wir ein paar einfachere Substitutionen gesehen. Jetzt kommen die schwierigeren Fälle. Wir beginnen mit Wurzelausdrücken.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel linear ist, haben wir Glück gehabt. Dann ersetzen wir den Wurzelausdruck als Ganzes.

Anders sieht es aus, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht linear ist.

Dann können andere Methoden als die Substitution sinnvoller sein.

Dass zum Beispiel die Ableitung des Wurzelausdrucks 1 – x4 mit dem Zähler fast identisch ist, sollte uns zu denken geben.

Wir verzichten daher auf die Substitution und

nutzen eine Methode, die wir S2 nennen.

Aber wenn im Zähler nicht x3, sondern x2 steht,

dann funktioniert diese Methode nicht.

In unserer Verzweiflung kehren wir doch zur Substitution zurück.

Aus diesem Menü können wir wählen.

Jetzt brauchen wir das hier.

Mal sehen, was wir daraus machen können.

Jetzt differenzieren wir x.

Erst differenzieren wir die äußere Funktion,

und dann die innere Funktion.

Bisher sieht das nicht allzu vielversprechend aus. Schauen wir uns noch die Substitution an.

Jetzt kommen wir zum Kern der Sache.

Wir tun uns die ganze Substitutionsgeschichte nur an, weil

und damit sind wir die Wurzel los.

Dass wir auch noch vereinfachen können, ist pures Glück.

Zum Schluss stellt sich heraus, dass das die leichteste Integration unseres Lebens war.

Wir müssen nur noch u durch den ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Was war dieser Ausdruck noch mal?

Jetzt erweitern wir auf beiden Seiten mit Arkussinus.

Das ist der Kehrwert des Sinus, und somit gilt

Sehen wir uns jetzt noch einen spannenden Fall an.

Wir nutzen die Gelegenheit, die Wurzel loszuwerden.

Jetzt wäre langsam eine Integration fällig.

Aber dazu brauchen wir noch einen kleinen Trick.

Noch immer gilt


Integration mit Substitution

INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Bei der Integration durch Substitution geht es darum, einen Ausdruck durch u zu ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den gesamten Wurzelausdruck in u umzubenennen.

NÜTZLICHE SUBSTITUTIONEN

Alles gut soweit. Jetzt lösen wir nach x auf.

Das können wir dann hoffentlich hier einsetzen.

Aber einen Haken gibt es leider doch:

Wir müssen auch dx ersetzen, und zwar wie folgt.

Das aufgelöste x leiten wir nach u ab.

Sollte jemand jetzt verwundert schauen – keine Sorge, ich kann alles erklären.

Die Sache ist, dass vor ganz langer Zeit die Menschen noch nicht die bekannte f'-Notation für die Ableitung nutzten. Stattdessen schrieben sie

Manche Leute nutzen diese Schreibweise noch heute.

Später wurden die Bezeichnungen vereinfacht, aber aus einem rätselhaften Grund

hat man die alte Schreibweise bei der Integration durch Substitution beibehalten.

Finden wir uns also damit ab, dass die Ableitung des aufgelösten x nicht wie üblich

ist, sondern

Hoffentlich wird das niemandem schlaflose Nächte bereiten.

Und jetzt kommt die Substitution.

Fertig.

Sehen wir uns noch eine ähnliche Aufgabe an.

Die Substitutionsregel kann auch bei ganz unhandlichen Kettenfunktionen nützlich sein.

In solchen Fällen nennen wir meist die innere Funktion in u um.

Jetzt kommt eine partielle Integration.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Erst müssen wir nach x auflösen.

Ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Wir kennen die Formel

und das war’s auch schon.

Jetzt müssen wir nur noch nach u ableiten.

Jetzt kommt die Substitution.

Dann wird integriert. Die Ableitung des Nenners

ist nichts anderes als der Zähler.

Natürlich gibt es bei der Substitution auch heiklere Fälle.

Welche das sind, sehen wir gleich in der nächsten Bilderreihe – die allerdings nichts für schwache Nerven ist!

Die Integration durch Substitution funktioniert so, dass wir einen Ausdruck durch u ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Bisher haben wir ein paar einfachere Substitutionen gesehen. Jetzt kommen die schwierigeren Fälle. Wir beginnen mit Wurzelausdrücken.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel linear ist, haben wir Glück gehabt. Dann ersetzen wir den Wurzelausdruck als Ganzes.

Anders sieht es aus, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht linear ist.

Dann können andere Methoden als die Substitution sinnvoller sein.

Dass zum Beispiel die Ableitung des Wurzelausdrucks 1 – x4 mit dem Zähler fast identisch ist, sollte uns zu denken geben.

Wir verzichten daher auf die Substitution und

nutzen eine Methode, die wir S2 nennen.

Aber wenn im Zähler nicht x3, sondern x2 steht,

dann funktioniert diese Methode nicht.

In unserer Verzweiflung kehren wir doch zur Substitution zurück.

Aus diesem Menü können wir wählen.

Jetzt brauchen wir das hier.

Mal sehen, was wir daraus machen können.

Jetzt differenzieren wir x.

Erst differenzieren wir die äußere Funktion,

und dann die innere Funktion.

Bisher sieht das nicht allzu vielversprechend aus. Schauen wir uns noch die Substitution an.

Jetzt kommen wir zum Kern der Sache.

Wir tun uns die ganze Substitutionsgeschichte nur an, weil

und damit sind wir die Wurzel los.

Dass wir auch noch vereinfachen können, ist pures Glück.

Zum Schluss stellt sich heraus, dass das die leichteste Integration unseres Lebens war.

Wir müssen nur noch u durch den ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Was war dieser Ausdruck noch mal?

Jetzt erweitern wir auf beiden Seiten mit Arkussinus.

Das ist der Kehrwert des Sinus, und somit gilt

Sehen wir uns jetzt noch einen spannenden Fall an.

Wir nutzen die Gelegenheit, die Wurzel loszuwerden.

Jetzt wäre langsam eine Integration fällig.

Aber dazu brauchen wir noch einen kleinen Trick.

Noch immer gilt

Dann wird der Bruch zerlegt (T1).

Schließlich ersetzen wir u durch den Originalausdruck.

In unserer nächsten Geschichte geht es um die Substitution trigonometrischer Funktionen.

Sehen wir uns jetzt einen Fall mit einem Wurzelausdruck und der inneren Funktion j(t) an.

In einem solchen Fall benennen wir den Wurzelausdruck im Nenner in t um,

also  und somit  sowie .

Letzteres wird zur Funktion j(t),

das heißt  und .

Nach der Substitution sieht unsere Aufgabe folgendermaßen aus:

Hier müssen wir noch t ersetzen, und schon sind wir fertig.


Spannendere Integrationen mit Substitution

INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Bei der Integration durch Substitution geht es darum, einen Ausdruck durch u zu ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den gesamten Wurzelausdruck in u umzubenennen.

NÜTZLICHE SUBSTITUTIONEN

Alles gut soweit. Jetzt lösen wir nach x auf.

Das können wir dann hoffentlich hier einsetzen.

Aber einen Haken gibt es leider doch:

Wir müssen auch dx ersetzen, und zwar wie folgt.

Das aufgelöste x leiten wir nach u ab.

Sollte jemand jetzt verwundert schauen – keine Sorge, ich kann alles erklären.

Die Sache ist, dass vor ganz langer Zeit die Menschen noch nicht die bekannte f'-Notation für die Ableitung nutzten. Stattdessen schrieben sie

Manche Leute nutzen diese Schreibweise noch heute.

Später wurden die Bezeichnungen vereinfacht, aber aus einem rätselhaften Grund

hat man die alte Schreibweise bei der Integration durch Substitution beibehalten.

Finden wir uns also damit ab, dass die Ableitung des aufgelösten x nicht wie üblich

ist, sondern

Hoffentlich wird das niemandem schlaflose Nächte bereiten.

Und jetzt kommt die Substitution.

Fertig.

Sehen wir uns noch eine ähnliche Aufgabe an.

Die Substitutionsregel kann auch bei ganz unhandlichen Kettenfunktionen nützlich sein.

In solchen Fällen nennen wir meist die innere Funktion in u um.

Jetzt kommt eine partielle Integration.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Erst müssen wir nach x auflösen.

Ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Wir kennen die Formel

und das war’s auch schon.

Jetzt müssen wir nur noch nach u ableiten.

Jetzt kommt die Substitution.

Dann wird integriert. Die Ableitung des Nenners

ist nichts anderes als der Zähler.

Natürlich gibt es bei der Substitution auch heiklere Fälle.

Welche das sind, sehen wir gleich in der nächsten Bilderreihe – die allerdings nichts für schwache Nerven ist!

Die Integration durch Substitution funktioniert so, dass wir einen Ausdruck durch u ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Bisher haben wir ein paar einfachere Substitutionen gesehen. Jetzt kommen die schwierigeren Fälle. Wir beginnen mit Wurzelausdrücken.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel linear ist, haben wir Glück gehabt. Dann ersetzen wir den Wurzelausdruck als Ganzes.

Anders sieht es aus, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht linear ist.

Dann können andere Methoden als die Substitution sinnvoller sein.

Dass zum Beispiel die Ableitung des Wurzelausdrucks 1 – x4 mit dem Zähler fast identisch ist, sollte uns zu denken geben.

Wir verzichten daher auf die Substitution und

nutzen eine Methode, die wir S2 nennen.

Aber wenn im Zähler nicht x3, sondern x2 steht,

dann funktioniert diese Methode nicht.

In unserer Verzweiflung kehren wir doch zur Substitution zurück.

Aus diesem Menü können wir wählen.

Jetzt brauchen wir das hier.

Mal sehen, was wir daraus machen können.

Jetzt differenzieren wir x.

Erst differenzieren wir die äußere Funktion,

und dann die innere Funktion.

Bisher sieht das nicht allzu vielversprechend aus. Schauen wir uns noch die Substitution an.

Jetzt kommen wir zum Kern der Sache.

Wir tun uns die ganze Substitutionsgeschichte nur an, weil

und damit sind wir die Wurzel los.

Dass wir auch noch vereinfachen können, ist pures Glück.

Zum Schluss stellt sich heraus, dass das die leichteste Integration unseres Lebens war.

Wir müssen nur noch u durch den ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Was war dieser Ausdruck noch mal?

Jetzt erweitern wir auf beiden Seiten mit Arkussinus.

Das ist der Kehrwert des Sinus, und somit gilt

Sehen wir uns jetzt noch einen spannenden Fall an.

Wir nutzen die Gelegenheit, die Wurzel loszuwerden.

Jetzt wäre langsam eine Integration fällig.

Aber dazu brauchen wir noch einen kleinen Trick.

Noch immer gilt

Dann wird der Bruch zerlegt (T1).

Schließlich ersetzen wir u durch den Originalausdruck.

In unserer nächsten Geschichte geht es um die Substitution trigonometrischer Funktionen.

Sehen wir uns jetzt einen Fall mit einem Wurzelausdruck und der inneren Funktion j(t) an.

In einem solchen Fall benennen wir den Wurzelausdruck im Nenner in t um,

also  und somit  sowie .

Letzteres wird zur Funktion j(t),

das heißt  und .

Nach der Substitution sieht unsere Aufgabe folgendermaßen aus:

Hier müssen wir noch t ersetzen, und schon sind wir fertig.


Eine wichtige Substitutionsregel

INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Bei der Integration durch Substitution geht es darum, einen Ausdruck durch u zu ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den gesamten Wurzelausdruck in u umzubenennen.

 lso damit ab, dass die Ableitung des aufgelösten x nicht wie üblich

ist, sondern

Hoffentlich wird das niemandem schlaflose Nächte bereiten.

Und jetzt kommt die Substitution.

Fertig.

Sehen wir uns noch eine ähnliche Aufgabe an.

Die Substitutionsregel kann auch bei ganz unhandlichen Kettenfunktionen nützlich sein.

In solchen Fällen nennen wir meist die innere Funktion in u um.

Jetzt kommt eine partielle Integration.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Erst müssen wir nach x auflösen.

Ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Wir kennen die Formel

und das war’s auch schon.

Jetzt müssen wir nur noch nach u ableiten.

Jetzt kommt die Substitution.

Dann wird integriert. Die Ableitung des Nenners

ist nichts anderes als der Zähler.

Natürlich gibt es bei der Substitution auch heiklere Fälle.

Welche das sind, sehen wir gleich in der nächsten Bilderreihe – die allerdings nichts für schwache Nerven ist!

Die Integration durch Substitution funktioniert so, dass wir einen Ausdruck durch u ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Bisher haben wir ein paar einfachere Substitutionen gesehen. Jetzt kommen die schwierigeren Fälle. Wir beginnen mit Wurzelausdrücken.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel linear ist, haben wir Glück gehabt. Dann ersetzen wir den Wurzelausdruck als Ganzes.

Anders sieht es aus, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht linear ist.

Dann können andere Methoden als die Substitution sinnvoller sein.

Dass zum Beispiel die Ableitung des Wurzelausdrucks 1 – x4 mit dem Zähler fast identisch ist, sollte uns zu denken geben.

Wir verzichten daher auf die Substitution und

nutzen eine Methode, die wir S2 nennen.

Aber wenn im Zähler nicht x3, sondern x2 steht,

dann funktioniert diese Methode nicht.

In unserer Verzweiflung kehren wir doch zur Substitution zurück.

Aus diesem Menü können wir wählen.

Jetzt brauchen wir das hier.

Mal sehen, was wir daraus machen können.

Jetzt differenzieren wir x.

Erst differenzieren wir die äußere Funktion,

und dann die innere Funktion.

Bisher sieht das nicht allzu vielversprechend aus. Schauen wir uns noch die Substitution an.

Jetzt kommen wir zum Kern der Sache.

Wir tun uns die ganze Substitutionsgeschichte nur an, weil

und damit sind wir die Wurzel los.

Dass wir auch noch vereinfachen können, ist pures Glück.

Zum Schluss stellt sich heraus, dass das die leichteste Integration unseres Lebens war.

Wir müssen nur noch u durch den ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Was war dieser Ausdruck noch mal?

Jetzt erweitern wir auf beiden Seiten mit Arkussinus.

Das ist der Kehrwert des Sinus, und somit gilt

Sehen wir uns jetzt noch einen spannenden Fall an.

Wir nutzen die Gelegenheit, die Wurzel loszuwerden.

Jetzt wäre langsam eine Integration fällig.

Aber dazu brauchen wir noch einen kleinen Trick.

Noch immer gilt

Dann wird der Bruch zerlegt (T1).

Schließlich ersetzen wir u durch den Originalausdruck.

In unserer nächsten Geschichte geht es um die Substitution trigonometrischer Funktionen.

Sehen wir uns jetzt einen Fall mit einem Wurzelausdruck und der inneren Funktion j(t) an.

In einem solchen Fall benennen wir den Wurzelausdruck im Nenner in t um,

also  und somit  sowie .

Letzteres wird zur Funktion j(t),

das heißt  und .

Nach der Substitution sieht unsere Aufgabe folgendermaßen aus:

Hier müssen wir noch t ersetzen, und schon sind wir fertig.


Integration gebrochenrationaler Funktionen

INTEGRATION GEBROCHENRATIONALER FUNKTIONEN

Die Integration gebrochenrationaler Funktionen verheißt Spaß ohne Ende.

Zum Einstieg müssen wir uns die Integration der sogenannten Partialbrüche beibringen.

Es gibt zwei Arten von Partialbrüchen:

I.                                                                           II.

Der Partialbruch des ersten Typs hat einen linearen Nenner und einen konstanten Zähler.

Der Partialbruch des zweiten Typs hat einen quadratischen Nenner, der nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann, und einen linearen Zähler.

Wie können wir diese Partialbrüche integrieren?

Es gibt die Formel

Wir formen den Zähler um, damit die Ableitung des Nenners darin auftaucht.

Das brauchen wir noch, also addieren wir es und ziehen es gleich wieder ab.

Und schon haben wir die Ableitung des Nenners im Zähler.

Eine Konstante ist auch noch dabei.

Jetzt zerlegen wir den Bruch in die Summe zweier Brüche:

Die erste Integration ist schnell fertig:

Mit der zweiten quälen wir uns noch ein bisschen.

Im Nenner ergänzen wir auf ein vollständiges Quadrat.

Hier haben wir im Nenner ein vollständiges Quadrat. Den Term dahinter nennen wir der Einfachheit halber D.

Das hier nennen wir D, und schwups:

Und jetzt lösen wir eine Aufgabe.

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir haben hier nämlich einen Zähler zweiten Grades und einen Nenner dritten Grades.

Jetzt kommt die Zerlegung in Partialbrüche. Es geht darum, den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zu zerlegen.

x klammern wir aus, und das lässt sich nicht weiter zerlegen, weil die Diskriminante negativ ist.

Die Zerlegung in ein Produkt ist damit komplett.

Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Und zwar zunächst nicht die expliziten Zähler, sondern ihre parametrische Form. Aber was bedeutet das überhaupt?

Unser eigentliches Ziel ist die Zerlegung in Partialbrüche. Und Partialbrüche kommen in zwei Arten vor.

Der Partialbruch vom Typ I hat einen linearen Nenner.

Der Partialbruch vom Typ II hat einen quadratischen Nenner, der nicht in ein Produkt zerlegt werden kann.

Bei der Zerlegung beginnen wir immer mit dem Nenner. Der Nenner des ersten Bruchs ist offensichtlich linear, also muss es sich um einen Partialbruch vom Typ I handeln. Der Zähler ist also irgendein A.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist jedoch ein quadratischer Term, also ist dieser Bruch notwendigerweise vom Typ II, mit einem Zähler in der Form AX+B.

A ist schon besetzt, also nennen wir den Zähler Bx+C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir uns diese beiden Brüche etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

und lösen die Klammern auf.

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Der erste Bruch ist auch schon fertig. Der zweite dauert noch etwas.

Erst ergänzen wir auf die Ableitung des Nenners, und dann

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir zerlegen den Nenner in ein Produkt. x klammern wir aus.

Dann schauen wir, ob der quadratische Term weiter zerlegt werden kann.

Anscheinend ja. Für diejenigen, denen der Mumm für eine solche Produktzerlegung fehlt, haben wir diese nette kleine Formel:

wobei

Die Produktzerlegung ist damit komplett. Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Die Zähler knobeln wir immer ausgehend von den Nennern aus.

Da alle drei Nenner linear sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Somit haben die Zähler die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir sie uns etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

– und dann kommt ein Trick.

Was passiert wohl, wenn wir für x null einsetzen?

Versuchen wir jetzt zu berechnen, was B sein könnte.

Dazu müssten wir diese Terme auf null setzen.

Zur Berechnung von C setzen wir schließlich diese auf null.

Wem dieser Trick nicht gefällt, der kann auch die Klammern auflösen:

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Und hier kommt die nächste gebrochenrationale Funktion:

Auch hier müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen.

Ob sich das wohl zerlegen lässt?

Anscheinend ja.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung. Auffällig ist, dass einer der Linearfaktoren gleich zweimal im Nenner auftaucht. In einem solchen Fall hilft uns ein kleiner Trick bei der Partialbruchzerlegung.

Ein Partialbruch hat (2x+1) im Nenner, und der andere (2x+1)².

Auch hier berechnen wir die Zähler ausgehend von den Nennern.

Da alle drei Nenner linear (oder die Potenz eines linearen Terms) sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Die Zähler haben also die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir A, B und C aus.

Wir verwenden den Trick aus der vorherigen Bilderreihe.

Zuerst setzen wir diese Terme auf null:

Diese können wir nicht gleichzeitig auf null setzen. Damit ist A etwas schwieriger zu berechnen.

Setzen wir für x jetzt mal 0 ein.

Wir könnten genauso gut auch 666 einsetzen, aber dann wäre die Rechnerei etwas komplizierter.

Das hier lässt sich schon relativ leicht integrieren.


Gebrochenrationale Funktionen 2.0

INTEGRATION GEBROCHENRATIONALER FUNKTIONEN

Die Integration gebrochenrationaler Funktionen verheißt Spaß ohne Ende.

Zum Einstieg müssen wir uns die Integration der sogenannten Partialbrüche beibringen.

Es gibt zwei Arten von Partialbrüchen:

I.                                                                           II.

Der Partialbruch des ersten Typs hat einen linearen Nenner und einen konstanten Zähler.

Der Partialbruch des zweiten Typs hat einen quadratischen Nenner, der nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann, und einen linearen Zähler.

Wie können wir diese Partialbrüche integrieren?

Es gibt die Formel

Wir formen den Zähler um, damit die Ableitung des Nenners darin auftaucht.

Das brauchen wir noch, also addieren wir es und ziehen es gleich wieder ab.

Und schon haben wir die Ableitung des Nenners im Zähler.

Eine Konstante ist auch noch dabei.

Jetzt zerlegen wir den Bruch in die Summe zweier Brüche:

Die erste Integration ist schnell fertig:

Mit der zweiten quälen wir uns noch ein bisschen.

Im Nenner ergänzen wir auf ein vollständiges Quadrat.

Hier haben wir im Nenner ein vollständiges Quadrat. Den Term dahinter nennen wir der Einfachheit halber D.

Das hier nennen wir D, und schwups:

Und jetzt lösen wir eine Aufgabe.

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir haben hier nämlich einen Zähler zweiten Grades und einen Nenner dritten Grades.

Jetzt kommt die Zerlegung in Partialbrüche. Es geht darum, den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zu zerlegen.

x klammern wir aus, und das lässt sich nicht weiter zerlegen, weil die Diskriminante negativ ist.

Die Zerlegung in ein Produkt ist damit komplett.

Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Und zwar zunächst nicht die expliziten Zähler, sondern ihre parametrische Form. Aber was bedeutet das überhaupt?

Unser eigentliches Ziel ist die Zerlegung in Partialbrüche. Und Partialbrüche kommen in zwei Arten vor.

Der Partialbruch vom Typ I hat einen linearen Nenner.

Der Partialbruch vom Typ II hat einen quadratischen Nenner, der nicht in ein Produkt zerlegt werden kann.

Bei der Zerlegung beginnen wir immer mit dem Nenner. Der Nenner des ersten Bruchs ist offensichtlich linear, also muss es sich um einen Partialbruch vom Typ I handeln. Der Zähler ist also irgendein A.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist jedoch ein quadratischer Term, also ist dieser Bruch notwendigerweise vom Typ II, mit einem Zähler in der Form AX+B.

A ist schon besetzt, also nennen wir den Zähler Bx+C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir uns diese beiden Brüche etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

und lösen die Klammern auf.

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Der erste Bruch ist auch schon fertig. Der zweite dauert noch etwas.

Erst ergänzen wir auf die Ableitung des Nenners, und dann

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir zerlegen den Nenner in ein Produkt. x klammern wir aus.

Dann schauen wir, ob der quadratische Term weiter zerlegt werden kann.

Anscheinend ja. Für diejenigen, denen der Mumm für eine solche Produktzerlegung fehlt, haben wir diese nette kleine Formel:

wobei

Die Produktzerlegung ist damit komplett. Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Die Zähler knobeln wir immer ausgehend von den Nennern aus.

Da alle drei Nenner linear sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Somit haben die Zähler die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir sie uns etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

– und dann kommt ein Trick.

Was passiert wohl, wenn wir für x null einsetzen?

Versuchen wir jetzt zu berechnen, was B sein könnte.

Dazu müssten wir diese Terme auf null setzen.

Zur Berechnung von C setzen wir schließlich diese auf null.

Wem dieser Trick nicht gefällt, der kann auch die Klammern auflösen:

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Und hier kommt die nächste gebrochenrationale Funktion:

Auch hier müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen.

Ob sich das wohl zerlegen lässt?

Anscheinend ja.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung. Auffällig ist, dass einer der Linearfaktoren gleich zweimal im Nenner auftaucht. In einem solchen Fall hilft uns ein kleiner Trick bei der Partialbruchzerlegung.

Ein Partialbruch hat (2x+1) im Nenner, und der andere (2x+1)².

Auch hier berechnen wir die Zähler ausgehend von den Nennern.

Da alle drei Nenner linear (oder die Potenz eines linearen Terms) sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Die Zähler haben also die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir A, B und C aus.

Wir verwenden den Trick aus der vorherigen Bilderreihe.

Zuerst setzen wir diese Terme auf null:

Diese können wir nicht gleichzeitig auf null setzen. Damit ist A etwas schwieriger zu berechnen.

Setzen wir für x jetzt mal 0 ein.

Wir könnten genauso gut auch 666 einsetzen, aber dann wäre die Rechnerei etwas komplizierter.

Das hier lässt sich schon relativ leicht integrieren.


Gebrochenrationale Funktionen 3.0

Jetzt kommt ein zusammenfassendes Beispiel, an dem alle wichtigen Schritte gut zu erkennen sind.

Eine schlechte Nachricht: Wir müssen mit einer Polynomdivision beginnen, denn der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die normale Division, die wir in der Grundschule gelernt haben.

Zum Beispiel 25:7=3, mit Rest 4.

Das heißt:

Genauso gehen wir auch bei der Polynomdivision vor.

Ergebnis                                           Rest

Jetzt kommt die Polynomdivision:

Alles klar soweit.

Aber wir sind noch nicht fertig.

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor,

und das Ganze ziehen wir vom Dividenden ab.

Dann dividieren wir wieder und wiederholen das so lange, bis schließlich der Grad des Dividenden den Grad des Divisors unterschreitet.

Aha, jetzt ist der Grad weit genug gesunken, und wir sind fertig.

Wir integrieren die ersten beiden Terme, und dann wenden wir uns dem Bruch zu, dessen Zähler jetzt einen kleineren Grad hat als der Nenner.

Wieder einmal müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Erst klammern wir x2 aus.

Dann schauen wir, ob der verbleibende quadratische Term in ein Produkt zerlegt werden kann. Es sieht nicht danach aus. Und zwar deswegen nicht, weil die Gleichung keine reelle Lösung hat.

x² lässt sich hingegen als Produkt ausdrücken.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung.

Wenn im Nenner ein linearer Ausdruck vom Typ ax+b im Quadrat auftaucht, dann gehen wir bei der Partialbruchzerlegung so vor:

Ein Partialbruch hat den Nenner ax+b,

und der andere hat den Nenner (ax+b)².

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Der erste Bruch hat einen linearen Nenner, der Zähler muss also irgendein A sein.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist ein linearer Ausdruck im Quadrat. Damit ist der Zähler auch hier irgendein A, aber da A bereits belegt ist, nehmen wir B.

Der dritte Bruch schließlich ist ein quadratischer Ausdruck. Der Zähler muss also vom Typ Ax+B sein. A und B sind belegt, also nehmen wir Cx+D.

Und jetzt rechnen wir A, B, C und D aus.

Wir multiplizieren mit den Nennern.

Dann lösen die Klammern auf.

Wir schauen, wie viele x3, x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Die ersten beiden Terme lassen sich sehr einfach integrieren.

Aus dem dritten Term wird das hier:

Der erste Term ist wie gewünscht f’/f, während der zweite Term zum Arkustangens wird.

Und schon sind wir fertig.

Zum Schluss noch ein Beispiel:

Wir müssen den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Die Zerlegung ist alles andere als trivial, denn der Nenner hat keine reelle Wurzel. Die Produktform:

Somit:

Die Terme im Nenner werden die Nenner der Partialbrüche sein. Da sich keiner der beiden quadratischen Terme zerlegen lässt, haben wir eine Summe von zwei Partialbrüchen vom Typ II vor uns:

Als Nächstes bestimmen wir A, B, C und D.

Wir multiplizieren:

dann formen wir um:

und zum Schluss lösen wir das gewohnte Gleichungssystem:

Die Lösungen: , somit

Wir werden die beiden Brüche einzeln integrieren.

Der erste Bruch:

Das läuft auf eine lineare Substitution von arctgx hinaus:

Der zweite Bruch aus Symmetriegründen:

Die Lösung der Aufgabe ist die Summe der erhaltenen Ausdrü height="41" src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image097.gif" />

Wir dürfen aber nicht vergessen, dass diese Methode – die Integration gebrochenrationaler Funktionen – nur dann sinnvoll ist, wenn alle anderen Methoden versagen. Die obige Aufgabe haben wir zum Beispiel mit Hilfe von S4 schon einmal gelöst – und zwar um einiges schneller!


Gebrochenrationale Funktionen – Abschlussaufgabe

Jetzt kommt ein zusammenfassendes Beispiel, an dem alle wichtigen Schritte gut zu erkennen sind.

Eine schlechte Nachricht: Wir müssen mit einer Polynomdivision beginnen, denn der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die normale Division, die wir in der Grundschule gelernt haben.

Zum Beispiel 25:7=3, mit Rest 4.

Das heißt:

Genauso gehen wir auch bei der Polynomdivision vor.

Ergebnis                                           Rest

Jetzt kommt die Polynomdivision:

Alles klar soweit.

Aber wir sind noch nicht fertig.

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor,

und das Ganze ziehen wir vom Dividenden ab.

Dann dividieren wir wieder und wiederholen das so lange, bis schließlich der Grad des Dividenden den Grad des Divisors unterschreitet.

Aha, jetzt ist der Grad weit genug gesunken, und wir sind fertig.

Wir integrieren die ersten beiden Terme, und dann wenden wir uns dem Bruch zu, dessen Zähler jetzt einen kleineren Grad hat als der Nenner.

Wieder einmal müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Erst klammern wir x2 aus.

Dann schauen wir, ob der verbleibende quadratische Term in ein Produkt zerlegt werden kann. Es sieht nicht danach aus. Und zwar deswegen nicht, weil die Gleichung keine reelle Lösung hat.

x² lässt sich hingegen als Produkt ausdrücken.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung.

Wenn im Nenner ein linearer Ausdruck vom Typ ax+b im Quadrat auftaucht, dann gehen wir bei der Partialbruchzerlegung so vor:

Ein Partialbruch hat den Nenner ax+b,

und der andere hat den Nenner (ax+b)².

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Der erste Bruch hat einen linearen Nenner, der Zähler muss also irgendein A sein.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist ein linearer Ausdruck im Quadrat. Damit ist der Zähler auch hier irgendein A, aber da A bereits belegt ist, nehmen wir B.

Der dritte Bruch schließlich ist ein quadratischer Ausdruck. Der Zähler muss also vom Typ Ax+B sein. A und B sind belegt, also nehmen wir Cx+D.

Und jetzt rechnen wir A, B, C und D aus.

Wir multiplizieren mit den Nennern.

Dann lösen die Klammern auf.

Wir schauen, wie viele x3, x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Die ersten beiden Terme lassen sich sehr einfach integrieren.

Aus dem dritten Term wird das hier:

Der erste Term ist wie gewünscht f’/f, während der zweite Term zum Arkustangens wird.

Und schon sind wir fertig.

Zum Schluss noch ein Beispiel:

Wir müssen den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Die Zerlegung ist alles andere als trivial, denn der Nenner hat keine reelle Wurzel. Die Produktform:

Somit:

Die Terme im Nenner werden die Nenner der Partialbrüche sein. Da sich keiner der beiden quadratischen Terme zerlegen lässt, haben wir eine Summe von zwei Partialbrüchen vom Typ II vor uns:

Als Nächstes bestimmen wir A, B, C und D.

Wir multiplizieren:

dann formen wir um:

und zum Schluss lösen wir das gewohnte Gleichungssystem:

Die Lösungen: , somit

Wir werden die beiden Brüche einzeln integrieren.

Der erste Bruch:

Das läuft auf eine lineare Substitution von arctgx hinaus:

Der zweite Bruch aus Symmetriegründen:

Die Lösung der Aufgabe ist die Summe der erhaltenen Ausdrü height="41" src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image097.gif" />

Wir dürfen aber nicht vergessen, dass diese Methode – die Integration gebrochenrationaler Funktionen – nur dann sinnvoll ist, wenn alle anderen Methoden versagen. Die obige Aufgabe haben wir zum Beispiel mit Hilfe von S4 schon einmal gelöst – und zwar um einiges schneller!


Integration trigonometrischer Funktionen – Substitution von tan(x/2)

INTEGRATION TRIGONOMETRISCHER AUSDRÜCKE

Trigonometrische Ausdrücke zu integrieren ist kein Spaziergang. Sehen wir uns jetzt mal einige einfachere Tricks und die wichtigsten Methoden an. Wir beginnen gleich mit einem der spannenderen Fälle.

u= tan(x/2) ist eines der eigenartigsten Beispiele für die Integration durch Substitution.

Verwendet wird diese Substitution dann, wenn der Bruch sowohl sinx als auch cosx nur in linearer Form enthält.

Die Substitution dreht sich um die folgenden drei Formeln:

Und jetzt folgen ein Paar magische Tricks.

Wer für Magie nichts übrig hat, kann diesen Teil einfach überspringen.

Wir beginnen mit einem kleineren Trick:

Jetzt folgt ein mittlerer Trick.

Und jetzt noch ein Abschlusstrick.

Und jetzt Schluss mit den Zaubertricks – das Ergebnis lautet

Eine Sache noch.

Bei der Substitution benötigen wir auch die Ableitung des aufgelösten x.

Dazu müssen wir erst nach x auflösen.

Wir kennen die Formel

Damit sind wir den Tangens los, und wir haben x.

Und die Ableitung noch dazu. Bekanntlich

Die gute Nachricht ist, dass wir dieses Martyrium nur einmal erdulden mussten.

Wenn wir uns diese Ergebnisse notieren, können wir in Zukunft jederzeit einfach nachschlagen.

Jetzt kommt eine Aufgabe.

Die Methode bewährt sich auch bei schwierigeren Fällen:

Wir zerlegen hier und da

 und schon sind wir fertig.

So viel dazu.

Wenn α oder β ungerade ist, haben wir Glück gehabt.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an.

Den Term mit ungeradem Exponenten zerlegen wir in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann kommt ein kleiner Trick.

Zum Schluss multiplizieren wir und begrüßen einen alten Bekannten:

Wenn cosx einen höheren Exponenten hat, ist das auch kein Problem.

Wieder zerlegen wir den Term mit ungeradem Exponenten in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann brauchen wir diese binomische Kubikformel:

Und zum Schluss kommt wieder das:

Wenn sowohl α als auch β gerade sind, funktioniert diese Methode nicht.

Dann kommen die sogenannten Linearisierungsformeln zum Einsatz.

Sehen wir uns einen solchen Fall an.

Vielleicht erinnern wir uns noch daran:

Genau das werden wir jetzt einsetzen.

Die Schlange, die sich in den Schwanz beißt

Diese Fälle lösen wir mit partieller Integration und einigen Zaubertricks.

Sehen wir uns zum Beispiel das an:

Die Rollenverteilung ist hier beliebig. Das Ergebnis bleibt gleich, egal wie wir die Bezeichnungen wählen.

Eine weitere partielle Integration.

Und das ist nichts anderes als die ursprüngliche Aufgabe.

Wenn wir jetzt weiter integrieren, erhalten wir nach zweimaliger partieller Integration wieder die ursprüngliche Aufgabe zurück.

Und so weiter bis an unser Lebensende. Aber das wäre etwas langweilig, und so setzen wir lieber einen Trick ein.

Der Trick besteht darin, dass wir das bisherige Ergebnis in Form einer Gleichung aufschreiben.

Wir lösen die Gleichung.

Und jetzt eine weitere Aufgabe:

Wie lösen wir eigentlich eine Integrationsaufgabe?

Als Erstes müssen wir uns ein paar Fragen stellen.


Integration trigonometrischer Funktionen 2.0

Die gute Nachricht ist, dass wir dieses Martyrium nur einmal erdulden mussten.

Wenn wir uns diese Ergebnisse notieren, können wir in Zukunft jederzeit einfach nachschlagen.

Jetzt kommt eine Aufgabe.

Die Methode bewährt sich auch bei schwierigeren Fällen:

Wir zerlegen hier und da

 und schon sind wir fertig.

So viel dazu.

Wenn α oder β ungerade ist, haben wir Glück gehabt.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an.

Den Term mit ungeradem Exponenten zerlegen wir in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann kommt ein kleiner Trick.

Zum Schluss multiplizieren wir und begrüßen einen alten Bekannten:

Wenn cosx einen höheren Exponenten hat, ist das auch kein Problem.

Wieder zerlegen wir den Term mit ungeradem Exponenten in ein Produkt von quadratischen und einem linearen Faktor.

Dann brauchen wir diese binomische Kubikformel:

Und zum Schluss kommt wieder das:

Wenn sowohl α als auch β gerade sind, funktioniert diese Methode nicht.

Dann kommen die sogenannten Linearisierungsformeln zum Einsatz.

Sehen wir uns einen solchen Fall an.

Vielleicht erinnern wir uns noch daran:

Genau das werden wir jetzt einsetzen.


Integration trigonometrischer Funktionen – die Katze beißt sich in den Schwanz

Die Schlange, die sich in den Schwanz beißt

Diese Fälle lösen wir mit partieller Integration und einigen Zaubertricks.

Sehen wir uns zum Beispiel das an:

Die Rollenverteilung ist hier beliebig. Das Ergebnis bleibt gleich, egal wie wir die Bezeichnungen wählen.

Eine weitere partielle Integration.

Und das ist nichts anderes als die ursprüngliche Aufgabe.

Wenn wir jetzt weiter integrieren, erhalten wir nach zweimaliger partieller Integration wieder die ursprüngliche Aufgabe zurück.

Und so weiter bis an unser Lebensende. Aber das wäre etwas langweilig, und so setzen wir lieber einen Trick ein.

Der Trick besteht darin, dass wir das bisherige Ergebnis in Form einer Gleichung aufschreiben.

Wir lösen die Gleichung.

Und jetzt eine weitere Aufgabe:

Wie lösen wir eigentlich eine Integrationsaufgabe?

Als Erstes müssen wir uns ein paar Fragen stellen.


Supernützliche Zusammenfassung zur Integration

Wie lösen wir eigentlich eine Integrationsaufgabe?

Als Erstes müssen wir uns ein paar Fragen stellen.

Gibt es im Integral ein

IZÉ > DINGS

Wenn ja, gibt es zwei Möglichkeiten.

linearer Ausdruck unter der Wurzel

nichtlinearer Ausdruck unter der Wurzel

In diesem Fall können wir es mit Substitution probieren:

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den Wurzelausdruck umzuformen:

Danach Bühne frei für S2:

Enthält das Integral  oder

x ist linear

x ist nicht linear

Mit S2 haben wir gute Chancen:

Ganz klar eine partielle Integration.

Wenn WASAUCHIMMER linear ist, brauchen wir eine partielle Integration.

Ist WASAUCHIMMER nicht linear, dann brauchen wir die Formel S4:

Und jetzt geht es an die Aufgaben. Vor jeder Aufgabe müssen wir uns diese Fragen stellen, um die richtige Formel auswählen zu können.

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Wurzel? Yep. Was haben wir uns gleich noch für diese Fälle notiert?

Logarithmus? Jupp. Was haben wir uns für diese Fälle notiert?

ex? Positiv. Was haben wir uns für diese Fälle notiert?

Mal etwas anderes: Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Aufgaben?

Auf den ersten Blick ist nicht viel zu sehen.

Was haben wir uns noch gleich für diese ex-Fälle notiert?

.  S3  

Zum Schluss noch diese drei Aufgaben:

Jede enthält eine Wurzel, und trotzdem muss jede anders gelöst werden.

Sehen wir wieder in unseren Notizen nach:

Bei der ersten wäre theoretisch eine Substitution fällig, aber in Wirklichkeit ist die Aufgabe sehr einfach.

Bei der zweiten brauchen wir tatsächlich eine Substitution wegen diesem x.

22. S2

23.  S4

24. S2

25. S2

26. S2

27. S3 Partielle Integration mit Rollenverteilung:

28. S3  Partielle Integration mit Rollenverteilung:

29. S3  Partielle Integration mit Rollenverteilung: