Bestimmte Integration

Bei der bestimmten Integration geht es um die Berechnung von Flächen unterhalb von Funktionsgraphen.

Hier ist eine Funktion, die zwischen a und b folgende Fläche umgrenzt:

Das natürlich nur, wenn f(x) im Intervall [a,b] integrierbar ist und in diesem Intervall eine Stammfunktion hat.

Diese Stammfunktion ist F(x), auch bekannt als unbestimmtes Integral.

Wenn eine solche Stammfunktion nicht existiert, dann wird die Berechnung der Fläche unter dem Graphen zum echten Alptraum.

Alpträume behandeln wir in einer separaten Episode.

Jetzt probieren wir lieber aus, wie die Formel konkret funktioniert. Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve x² zwischen den Punkten 0 und 1.

Nach Newton und Leibniz beträgt diese Fläche:

Hier kommt die Stammfunktion:

Und hier müssen wir erst 1 und dann 0 einsetzen.

Und an dieser Stelle müssen wir eine wichtige Sache klarstellen.

Die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen oberhalb der x-Achse immer positiv sind,

und die Flächen unterhalb der x-Achse immer negativ.

Das ist das Thema unserer nächsten Geschichte.

Berechnen wir die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse im Intervall .

Hm, es fällt ein bisschen schwer zu glauben, dass diese Fläche null sein soll …

Das Ergebnis ist deshalb null, weil die Funktion teilweise unter der x-Achse verläuft, und bei der bestimmten Integration wird dieser Teil negativ gezählt.

Die bestimmte Integration und die Berechnung der Fläche unter dem Graphen bedeutet also nicht immer dasselbe.

Wenn die Aufgabe von uns verlangt, diese Funktion zwischen 0 und 6 zu integrieren, haben wir alles perfekt gemacht.

Wenn aber die Aufgabe lautet, die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen, dann sitzen wir im Schlamassel …

Wir müssen als Erstes den Punkt finden, an dem die Funktion die x-Achse schneidet.

Dann bekommen wir zwei Flächen:

Die Fläche ist natürlich positiv.

Und jetzt wird es erst richtig spannend …

Jetzt kommen die Alpträume.

Das i-te Rechteck ist so hoch, dass es gerade noch unter den Funktionsgraphen passt.

Diese Höhe entspricht im i-ten Intervall dem Minimum der Funktionswerte.

Wir sind aber etwas besser dran, wenn wir statt des Minimums das Infimum verwenden.

Die Fläche des Rechtecks ist Grundseite mal Höhe:

Wenn wir die Flächen all dieser Rechtecke addieren …

erhalten wir eine untere Näherung für die Fläche unterhalb der Kurve, die sogenannte Untersumme.

Jetzt wollen wir auch eine obere Näherung berechnen.

Die obere Näherung sieht so aus.

Hier ist die Höhe des i-ten Rechtecks im i-ten Intervall das Supremum der Funktionswerte.

Wenn wir die Flächen all dieser Rechtecke addieren, erhalten wir eine obere Näherung für die Fläche unterhalb der Kurve, die sogenannte Obersumme.

Mit zunehmend feiner Zerlegung nähern wir uns der Fläche unterhalb der Kurve von oben an.

Die auf dem Intervall [a,b] beschränkte Funktion f ist auf [a,b] Riemann-integrierbar, wenn es genau eine Zahl I gibt, für die bei jeder Zerlegung gilt:

Diese Zahl I wird als Riemannsches Integral der Funktion f bezeichnet:

Wir wollen sehen, ob diese Funktion Riemann-integrierbar ist:

Da jedes beliebig kurze Intervall eine rationale Zahl enthält,

ist

Und egal wie fein die Zerlegung ist, bleibt die Obersumme immer gleich.

Zugleich gibt es in jedem beliebig kurzen Intervall auch eine irrationale Zahl, deshalb

Somit bleibt auch die Untersumme immer gleich.

Das heißt, es gibt unendlich viele Zahlen I, für die

Und jetzt bringen wir ein bisschen Spannung in die Sache.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche zwischen den Funktionen f und g.

Unser Plan ist folgender:

Erst berechnen wir die Fläche unter der roten Funktion zwischen a und b,

dann die Fläche unter der gelben Funktion,

und schließlich ziehen wir die eine von der anderen ab.

Interessant sind auch die Werte von a und b.

Das Besondere an a und b ist, dass die beiden Funktionen an diesen Stellen den gleichen Wert haben.

Das ist also die Gleichung, die wir lösen müssen.

Bereiche wie dieser, dessen Fläche wir gerade berechnet haben, werden Normalbereiche genannt.

Normalbereiche sind von unten und von oben durch eine Funktion begrenzt,

und ihre Seiten sind x=a und x=b.

Die beiden Funktionen können auf einer Seite zusammentreffen,

oder auch auf beiden Seiten.

Die Fläche eines solchen Normalbereichs beträgt:

 AREA = Fläche

bzw. wenn die Funktion g wie in unserer Abbildung oben ist,

dann umgekehrt.

Diese Methode hat den Vorteil, dass wir nur einmal integrieren müssen. Probieren wir es gleich aus.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche zwischen den Funktionen f und g.

Erst berechnen wir die Schnittpunkte,

dann folgt die Integration.

Hier ist eine Funktion,

an die wir in x=3 eine Tangente anlegen.

Dadurch entstehen zwei Bereiche.

Der eine ist durch die Funktion, die Tangente und die y-Achse begrenzt,

der andere durch die Funktion, die Tangente und die x-Achse.

Berechnen wir die Flächen dieser Bereiche.

Wie es aussieht, brauchen wir die Gleichung der Tangente.

Hier ist sie auch schon:

Und jetzt kommen wir zur Sache.

Der durch die y-Achse begrenzte Bereich ist viel einfacher zu berechnen.

Es handelt sich nämlich um einen Normalbereich, und somit müssen wir nur die Differenz der beiden Funktionen integrieren:

Die Berechnung des zweiten Bereichs ist schon haariger.

Als Erstes brauchen wir diese Schnittpunkte.

Und jetzt kommen wir zu den Flächen.

Die gesuchte Fläche ist:

Jetzt kommt etwas ganz Witziges.

Wir integrieren bis unendlich.

Wie groß könnte zum Beispiel diese Fläche sein:

Die Integration bis  geht so: Erst integrieren wir bis ,

und dann befehlen wir , gefälligst gegen  zu streben.

Schauen wir mal, wie groß dieser Grenzwert sein könnte.

Vielleicht können wir diese Rechenstützen gebrauchen:

Aber so lassen sie sich einfacher merken.

Hier kommt die nächste Aufgabe:

Natürlich kann es auch vorkommen, dass beide Grenzen unendlich sind:

In diesem Fall teilen wir die Integration auf, zum Beispiel bei null.

In Wirklichkeit beträgt diese Fläche 1/3+1/3=2/3, aber die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Deshalb ist null als Ergebnis herausgekommen.

Diese ins Unendliche reichenden Integrale nennen wir uneigentliche Integrale.

Die bisher gesehenen Integrale liefen entlang der x-Achse gegen unendlich, aber es gibt auch solche, die entlang der y-Achse gegen unendlich streben.

Zum Beispiel hier:

Der Lösungsweg ist jedoch der gleiche.

Wenn wir die Funktion


auf der positiven Zahlengeraden integrieren, erhalten wir von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich uneigentliche Integrale.

Schauen wir zunächst, was passiert, wenn wir von 0 bis 1 integrieren.

Den Fall  werden wir uns separat vornehmen.

Und jetzt wollen wir den Grenzwert berechnen.

Wir setzen zuerst 1 ein,

und dann überlegen wir, was passiert, wenn .

Wenn also der Exponent eine positive Zahl ist,

dann kommt hier null heraus.

Wenn der Exponent negativ ist …

dann ist der Grenzwert unendlich.

Wenn  genau 1 ist:

Jetzt kommen wir zum Bereich 1 bis unendlich.

Für  ist der Exponent positiv,

und dann ist das Integral divergent.

Und wenn  genau 1 ist:

Fassen wir zusammen: Für  ist das Integral von 0 bis 1 divergent und von 1 bis unendlich konvergent.

Für  ist das Integral von 0 bis 1 konvergent und von 1 bis unendlich divergent.

Für  ist das Integral durchgehend divergent.

Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?

Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.

Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …

zum Beispiel zwischen a und b.

Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.

Der Radius der Scheibe ist genau f(x).

Das Volumen einer solchen Scheibe ist:

Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …

entspricht genau diesem Integral.

Die Oberfläche ist schon interessanter:

Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.

Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:

Wir drehen sie um die x-Achse.

Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.

Was könnte noch kommen?

Hier ist diese Funktion …

Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.

Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?

Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.

Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.

Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.

Was könnte aber die Inverse von f sein?

Die Berechnung des zweiten Bereichs ist schon haariger.

Als Erstes brauchen wir diese Schnittpunkte.

Und jetzt kommen wir zu den Flächen.

Die gesuchte Fläche ist:

Jetzt kommt etwas ganz Witziges.

Wir integrieren bis unendlich.

Wie groß könnte zum Beispiel diese Fläche sein:

Die Integration bis  geht so: Erst integrieren wir bis ,

und dann befehlen wir , gefälligst gegen  zu streben.

Schauen wir mal, wie groß dieser Grenzwert sein könnte.

Vielleicht können wir diese Rechenstützen gebrauchen:

Aber so lassen sie sich einfacher merken.

Hier kommt die nächste Aufgabe:

Natürlich kann es auch vorkommen, dass beide Grenzen unendlich sind:

In diesem Fall teilen wir die Integration auf, zum Beispiel bei null.

In Wirklichkeit beträgt diese Fläche 1/3+1/3=2/3, aber die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Deshalb ist null als Ergebnis herausgekommen.

Diese ins Unendliche reichenden Integrale nennen wir uneigentliche Integrale.

Die bisher gesehenen Integrale liefen entlang der x-Achse gegen unendlich, aber es gibt auch solche, die entlang der y-Achse gegen unendlich streben.

Zum Beispiel hier:

Der Lösungsweg ist jedoch der gleiche.

Wenn wir die Funktion


auf der positiven Zahlengeraden integrieren, erhalten wir von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich uneigentliche Integrale.

Schauen wir zunächst, was passiert, wenn wir von 0 bis 1 integrieren.

Den Fall  werden wir uns separat vornehmen.

Und jetzt wollen wir den Grenzwert berechnen.

Wir setzen zuerst 1 ein,

und dann überlegen wir, was passiert, wenn .

Wenn also der Exponent eine positive Zahl ist,

dann kommt hier null heraus.

Wenn der Exponent negativ ist …

dann ist der Grenzwert unendlich.

Wenn  genau 1 ist:

Jetzt kommen wir zum Bereich 1 bis unendlich.

Für  ist der Exponent positiv,

und dann ist das Integral divergent.

Und wenn  genau 1 ist:

Fassen wir zusammen: Für  ist das Integral von 0 bis 1 divergent und von 1 bis unendlich konvergent.

Für  ist das Integral von 0 bis 1 konvergent und von 1 bis unendlich divergent.

Für  ist das Integral durchgehend divergent.

Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?

Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.

Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …

zum Beispiel zwischen a und b.

Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.

Der Radius der Scheibe ist genau f(x).

Das Volumen einer solchen Scheibe ist:

Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …

entspricht genau diesem Integral.

Die Oberfläche ist schon interessanter:

Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.

Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:

Wir drehen sie um die x-Achse.

Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.

Was könnte noch kommen?

Hier ist diese Funktion …

Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.

Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?

Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.

Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.

Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.

Was könnte aber die Inverse von f sein?

Die Berechnung des zweiten Bereichs ist schon haariger.

Als Erstes brauchen wir diese Schnittpunkte.

Und jetzt kommen wir zu den Flächen.

Die gesuchte Fläche ist:

Jetzt kommt etwas ganz Witziges.

Wir integrieren bis unendlich.

Wie groß könnte zum Beispiel diese Fläche sein:

Die Integration bis  geht so: Erst integrieren wir bis ,

und dann befehlen wir , gefälligst gegen  zu streben.

Schauen wir mal, wie groß dieser Grenzwert sein könnte.

Vielleicht können wir diese Rechenstützen gebrauchen:

Aber so lassen sie sich einfacher merken.

Hier kommt die nächste Aufgabe:

Natürlich kann es auch vorkommen, dass beide Grenzen unendlich sind:

In diesem Fall teilen wir die Integration auf, zum Beispiel bei null.

In Wirklichkeit beträgt diese Fläche 1/3+1/3=2/3, aber die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Deshalb ist null als Ergebnis herausgekommen.

Diese ins Unendliche reichenden Integrale nennen wir uneigentliche Integrale.

Die bisher gesehenen Integrale liefen entlang der x-Achse gegen unendlich, aber es gibt auch solche, die entlang der y-Achse gegen unendlich streben.

Zum Beispiel hier:

Der Lösungsweg ist jedoch der gleiche.

Wenn wir die Funktion


auf der positiven Zahlengeraden integrieren, erhalten wir von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich uneigentliche Integrale.

Schauen wir zunächst, was passiert, wenn wir von 0 bis 1 integrieren.

Den Fall  werden wir uns separat vornehmen.

Und jetzt wollen wir den Grenzwert berechnen.

Wir setzen zuerst 1 ein,

und dann überlegen wir, was passiert, wenn .

Wenn also der Exponent eine positive Zahl ist,

dann kommt hier null heraus.

Wenn der Exponent negativ ist …

dann ist der Grenzwert unendlich.

Wenn  genau 1 ist:

Jetzt kommen wir zum Bereich 1 bis unendlich.

Für  ist der Exponent positiv,

und dann ist das Integral divergent.

Und wenn  genau 1 ist:

Fassen wir zusammen: Für  ist das Integral von 0 bis 1 divergent und von 1 bis unendlich konvergent.

Für  ist das Integral von 0 bis 1 konvergent und von 1 bis unendlich divergent.

Für  ist das Integral durchgehend divergent.

Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?

Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.

Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …

zum Beispiel zwischen a und b.

Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.

Der Radius der Scheibe ist genau f(x).

Das Volumen einer solchen Scheibe ist:

Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …

entspricht genau diesem Integral.

Die Oberfläche ist schon interessanter:

Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.

Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:

Wir drehen sie um die x-Achse.

Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.

Was könnte noch kommen?

Hier ist diese Funktion …

Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.

Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?

Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.

Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.

Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.

Was könnte aber die Inverse von f sein?

Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?

Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.

Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …

zum Beispiel zwischen a und b.

Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.

Der Radius der Scheibe ist genau f(x).

Das Volumen einer solchen Scheibe ist:

Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …

entspricht genau diesem Integral.

Die Oberfläche ist schon interessanter:

Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.

Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:

Wir drehen sie um die x-Achse.

Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.

Was könnte noch kommen?

Hier ist diese Funktion …

Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.

Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?

Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.

Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.

Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.

Was könnte aber die Inverse von f sein?