Schwellenindex und Monotonie

Definition konvergenter Folgen, Schwellenindex-Berechnung

Eine der wichtigsten Eigenschaften einer Folge ist, was mit ihr passiert, wenn wir immer weiter entfernte Glieder betrachten.

Index

Diese Folge nähert sich zum Beispiel der Zahl A an.

Diese Eigenschaft einer Folge nennen wir Konvergenz.

Die Mathematiker haben Hunderte Jahre an der Definition der Konvergenz gefeilt. Wir geben uns jetzt eine Minute dafür.

Die Folge  ist konvergent und ihr Grenzwert ist die Zahl A, wenn wir für beliebig kleine  einen Index  finden können, ab dem der Abstand jedes nachfolgenden Glieds zur Zahl A kleiner als  ist.

Das ist die Definition des Grenzwerts für Folgen.

Da Mathematiker jedoch an einfachen Formulierungen interessiert sind, lautet die endgültige Definition ein klein wenig anders.

Hier ist sie.

Was uns an dieser Definition zur Verzweiflung treibt, ist das hier.

Die Folge an ist konvergent und hat den Grenzwert A, wenn es zu jedem  > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

........ für jedes .....

Aber keine Sorge. Die Bedingung

bedeutet einfach nur dies.

Dass also der Abstand zwischen  und  weniger als  beträgt.

Wie lautet zum Beispiel das zu  gehörige , wenn

Anscheinend ist die Folge weniger als  von ihrem Grenzwert entfernt, wenn  

Also ab dem siebten Glied, und somit ist .

Dann haben wir hier noch eine weitere interessante Folge.

Anscheinend ist die Folge dann weniger als  von ihrem Grenzwert entfernt, wenn 2,78 < n.

Das heißt ab dem dritten Glied, und somit n0 = 2.

Divergente Folgen

Wir werden gleich weitere großartige Folgen kennenlernen. Die konvergenten Folgen kennen wir schon:

Die Folge  ist konvergent und ihr Grenzwert ist die Zahl A, wenn wir für beliebig kleine  einen Index  finden können, ab dem der Abstand jedes nachfolgenden Glieds zur Zahl A kleiner als  ist.

Die Folge an ist konvergent und hat den Grenzwert A, wenn es zu jedem  > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

........ für jedes .....

Jetzt kommen die divergenten Folgen.

Diese Folge ist zum Beispiel deshalb divergent, weil sie gegen unendlich strebt.

Die Folge wächst unweigerlich über jede Zahl  hinaus, ihre Glieder streben unaufhaltsam in Richtung unendlich.

Die Folge  ist divergent und ihr Grenzwert ist plus unendlich, wenn es zu jeder Zahl M > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

Es gibt auch Folgen, die deshalb divergent sind, weil sie gegen minus unendlich streben.

Die Folge  ist divergent und ihr Grenzwert ist minus unendlich, wenn es zu jeder Zahl M < 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

Und schließlich gibt es auch divergente Folgen, die nirgendwohin streben. Eine solche unentschlossene Folge ist zum Beispiel diese hier:

Die Folge  ist alternierend divergent, wenn sie keinen Grenzwert hat, also weder gegen eine reelle Zahl noch gegen plus oder minus unendlich strebt.

Hier ist das gesamte Menü:

Konvergente Folgen

Divergente Folgen

Hat Grenzwert

Hat keinen Grenzwert

KONVERGENT

DIVERGENT

sehova = nirgendwohin

Sehen wir uns an, was diese Folge so treibt:

Anscheinend ist sie divergent und strebt gegen plus unendlich.

Das heißt, zu jedem M > 0 gibt es ein n0, sodass

Wenn zum Beispiel , dann

und somit

Das bedeutet, dass ab dem 14696. Glied alle Glieder der Folge größer als 600 sind.

Wenn dieses M 800 statt 600 beträgt ...

dann dauert es zwar bis zu einem späteren Glied, aber die Folge wächst auch über 800 hinaus.

Jetzt kommt noch eine lustige Folge. Versuchen wir für  das dazugehörige  zu bestimmen.

wenn n gerade ist

wenn n ungerade ist

Die Folge ist divergent.

Und somit gibt es für  kein .

Jetzt werden wir einige launische Folgen kennenlernen.

Versuchen wir für  das dazugehörige  zu bestimmen.

Wir wollen die Absolutbeträge loswerden.

Wir beginnen oben.

Wenn n = 1

Wir wollen sehen, ob  positiv ist.

Für die Werte n = 1, 2, 3, 4, 5 schon. Aber ab 6 wird es negativ.

Wir sind an großen n interessiert, denn  wird irgendwo hier zu finden sein.

Und jetzt sehen wir uns den Nenner an.

Für n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ist er negativ.

Aber ab 9 ist er positiv.

Auch hier sind wir an großen n interessiert, den  wird irgendwo hier sein.

Wir multiplizieren und räumen ein wenig auf …

Und hier ist der Schwellenindex.

Hier ist schon die nächste wunderbare Folge:  und

Wir nehmen uns den Nenner vor. Für n = 1, 2, 3 ist er negativ …

Aber für alle anderen n ist er positiv.

Monotonie von Folgen

Die Monotonieuntersuchung von Folgen ist, ihr ahnt es schon, eine ziemlich monotone Angelegenheit.

Allzu viel Spannung dürft ihr also nicht erwarten …

Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Glied größer als das vorangehende Glied ist.

Streng monoton steigend

Streng monoton fallend

Monoton steigend

Monoton fallend

Streng monoton fallend, wenn jedes Glied kleiner als das vorangehende Glied ist.

Monoton steigend, wenn jedes Glied größer oder gleich dem vorangehenden Glied ist.

Monoton fallend, wenn jedes Glied kleiner oder gleich dem vorangehenden Glied ist.

Untersuchen wir zum Beispiel die Monotonie dieser Folge.

Die Folge ist also streng monoton fallend.

Wir können dieses Ergebnis auch mithilfe eines Tricks bestimmen.

Hier ist er:

Hier machen wir eine kurze Denkpause.

Was passiert, wenn wir 4 durch immer größere Zahlen teilen?

Das natürlich.

streng monoton fallend

Und somit ist die gesamte Folge streng monoton fallend.

Sehen wir uns noch einen Fall an.

Die Folge ist streng monoton steigend.

Und jetzt sehen wir uns die Methode mit dem Trick an:

Wieder eine kurze Denkpause.

Was passiert, wenn wir 9/5 durch immer größere Zahlen teilen?

Durch das Minuszeichen bekommen wir allerdings einen streng monotonen Anstieg.

Und somit ist die gesamte Folge streng monoton steigend.

Hier kommt ein spannenderer Fall:

Das ist für jedes n negativ.

Die Folge ist also streng monoton fallend.

Und jetzt sehen wir uns die Methode mit dem Trick an:

Hier kommt ein spannenderer Fall:

Für  ist der Zähler genau null.

Für  ist er positiv.

Die Folge ist also monoton steigend.

Wir wollen sehen, wie der Trick hier funktioniert:

Gar nicht.

Das Problem ist, dass hier  und  gleichzeitig auftreten, und in einem solchen Fall versagt unser Trick …

Es gibt natürlich auch Folgen, die nicht monoton sind.

Leider werden sie davon auch nicht spannender.

Hier ist zum Beispiel diese Folge.

Solche Folgen nennen wir alternierende oder oszillierende Folgen.

Diese Folge oszilliert zum Beispiel um den Wert null:

  wenn n ungerade ist

  wenn n gerade ist

Beschränktheit von Folgen, Infimum und Supremum

Hier ist diese Folge, über die wir jetzt ein paar Dinge in Erfahrung bringen wollen.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Das ist streng monoton fallend …

und strebt gegen null.

Somit ist die gesamte Folge streng monoton fallend.

Und der Grenzwert liegt bei 2.

Jetzt wo wir all dies wissen, malen wir ein Bild davon.

Die Folge fällt… 

Und nähert sich 2 an.

Diese Zahl ist die Untergrenze oder das Infimum der Folge.

Die Obergrenze oder das Supremum ist das erste Glied der Folge.

Hier ist eine weitere Folge. Untersuchen wir sie auf Monotonie und Beschränktheit.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Das ist streng monoton fallend …

und strebt gegen null.

Das Minuszeichen kehrt jedoch alles um:

Aus dem Fallen wird ein Steigen.

Somit ist die gesamte Folge streng monoton steigend.

Und der Grenzwert liegt bei 3.

Schauen wir uns jetzt die Beschränktheit an.

Es gibt natürlich auch spannendere Folgen.

Untersuchen wir Monotonie und Beschränktheit.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Dieses (–1)n ist kein gutes Omen für die Monotonie.

Und das ist der Grund:

Deshalb müssen wir die Monotonieuntersuchung in solchen Fällen ganz anders angehen.

Als Erstes berechnen wir den Grenzwert.

wenn n gerade ist

wenn n ungerade ist

Ungerade

Gerade

Dann machen wir ein Bild.

Und tragen die ersten beiden Glieder auf.

Mal sehen, was wir daraus folgern können.

Die Folge ist nicht monoton, denn die aus ungeraden Gliedern bestehende Teilfolge ist steigend …

und der aus geraden Gliedern bestehende Teil ist fallend.

Und hier kommt der nächste Fall:

Auch das sieht nicht monoton aus, also beginnen wir wieder mit dem Grenzwert.

Dann machen wir ein Bild.

Und tragen die ersten beiden Glieder auf.

Die Folge ist nicht monoton, denn die aus ungeraden Gliedern bestehende Teilfolge ist fallend …

und der aus geraden Gliedern bestehende Teil ist steigend.