Lineare Gleichungssysteme, inverse Matrix

Inhalt des Themas


Gaußsche Eliminierung und elementare Basistransformation

Hier ist unser nächstes Opfer, das wir eiskalt lösen werden.

Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist eine Matrix, die aus den Koeffizienten der x-Werte besteht.

Die Konstanten der rechten Seite bilden einen Vektor.

Hier ist also die Matrixform des Gleichungssystems:

Aber kommen wir jetzt zur Sache. Hier ist die Grundidee zur Lösung des Gleichungssystems:

Wenn wir zum Beispiel so etwas vor uns haben

dann erhalten wir den einfachsten Lösungsweg über einen Trick.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen:

Und wenn wir das Dreifache der zweiten Gleichung von der ersten abziehen:

Bei 3 oder gar mehr Unbekannten werden wir diesen Trick einsetzen.

Unser Ziel ist es, das Gleichungssystem in eine wesentlich freundlichere Form zu bringen, bei der jede Zeile nur eine Unbekannte enthält.

Wie zum Beispiel hier.

Sehen wir mal, wie das geht.

DAS GLEICHUNGSSYSTEM                                 NUR DIE MATRIXFORM

Diese wollen wir zuerst loswerden.

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und ziehen sie von der zweiten und dritten Gleichung ab.

Wir teilen die mittlere Gleichung durch –3.

Dann multiplizieren wir sie mit 2 und ziehen das Ergebnis aus der oberen Gleichung ab.

Dann addieren wir ihr 5-faches zur unteren Gleichung.

Die untere Gleichung teilen wir durch 4.

Schließlich addieren wir die untere Gleichung zur oberen.

Und wir ziehen sie von der mittleren ab.

Im Zuge der Lösung haben wir mit den Gleichungen exakt dieselben Operationen durchgeführt wie in der Matrixform.

Die Matrixform ist jedoch viel klarer, daher lohnt es sich, diese Form zu verwenden.

Bald können wir allerdings beide Versionen in Rente schicken, da wir eine viel spitzenmäßigere dritte Version kennenlernen werden.

Die bisher verwendeten Methoden werden als Gaußsches Eliminationsverfahren bezeichnet. Was jetzt kommt, ist sozusagen der Super-Gauß.

Das Super-Gauß-Verfahren hat den Vorteil, dass es viel kürzer ist und man nichts falsch machen kann.

Sehen wir es uns einmal an.


Gleichungssysteme durch Gauß-Eliminierung lösen

4. LETZTE TRANSFORMATION + LÖSUNG

WIEDER ELEMENTWAHL

Die Lösung lässt sich sehr einfach ablesen: Jedes x hat genau den Wert, der neben ihm in der Spalte b steht.

Diese Zahl steht in der Spalte  daneben.

Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst! Es war alles halb so schlimm, oder?

Wenn wir die Tabellen des Gaußschen Eliminationsverfahrens und des Super-Gauß-Verfahrens vergleichen, erkennen wir, dass genau dieselben Schritte ausgeführt werden.

Es ist, als würden wir eine Reise von London nach New York unternehmen. Egal ob wir mit dem Dampfschiff oder mit dem Flugzeug reisen, der Weg ist im Grunde genommen der gleiche.

Wie das Reisen mit dem Flugzeug weist jedoch auch das Super-Gauß-Verfahren gewisse Vorteile auf, die wir bald kennenlernen werden.

Hier kommt ein neues Gleichungssystem.

Es lohnt sich, ein erzeugendes Element zu wählen, in dessen Zeile bzw. Spalte möglichst viele Nullen sind.

Die Vorteile einer solchen Wahl werden wir gleich erkennen.

Nehmen wir zum Beispiel das hier.

 gibt es nicht

 gibt es nicht und  auch nicht

Es lohnt sich, ein erzeugendes Element zu wählen, in dessen Zeile bzw. Spalte möglichst viele Nullen sind.

Die Vorteile einer solchen Wahl werden wir gleich erkennen.

Nehmen wir zum Beispiel das hier.

Die neue Tabelle:

Aufgrund der Null ziehen wir in dieser Spalte von jedem Element null ab,

das heißt die Spalte bleibt unverändert.

Deshalb ist es so toll, wenn man ein erzeugendes Element wählt, dessen Zeile bzw. Spalte viele Nullen enthält.

Auch diese Tabelle bleibt unverändert.

Deswegen ist das eine gute Wahl.

Die Nullen machen uns das Leben leichter.

Berechnen müssen wir nur diese hier.

Aufgrund der Null bleibt in dieser Spalte alles gleich.

Sogar diese Spalte bleibt unverändert.

Und diese Spalte auch.

Es bleibt kaum etwas zu berechnen!

Durch die Nullen bleibt wieder vieles unverändert.

Hier ist das Einzige, was wir berechnen müssen:


Gleichungssysteme durch elementare Basistransformation lösen

Hier ist unser nächstes Opfer, das wir eiskalt lösen werden.

Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist eine Matrix, die aus den Koeffizienten der x-Werte besteht.

Die Konstanten der rechten Seite bilden einen Vektor.

Hier ist also die Matrixform des Gleichungssystems:

Aber kommen wir jetzt zur Sache. Hier ist die Grundidee zur Lösung des Gleichungssystems:

Wenn wir zum Beispiel so etwas vor uns haben

dann erhalten wir den einfachsten Lösungsweg über einen Trick.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen:

Und wenn wir das Dreifache der zweiten Gleichung von der ersten abziehen:

Bei 3 oder gar mehr Unbekannten werden wir diesen Trick einsetzen.

Unser Ziel ist es, das Gleichungssystem in eine wesentlich freundlichere Form zu bringen, bei der jede Zeile nur eine Unbekannte enthält.

Wie zum Beispiel hier.

Sehen wir mal, wie das geht.

DAS GLEICHUNGSSYSTEM                                 NUR DIE MATRIXFORM

Diese wollen wir zuerst loswerden.

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und ziehen sie von der zweiten und dritten Gleichung ab.

Wir teilen die mittlere Gleichung durch –3.

Dann multiplizieren wir sie mit 2 und ziehen das Ergebnis aus der oberen Gleichung ab.

Dann addieren wir ihr 5-faches zur unteren Gleichung.

Die untere Gleichung teilen wir durch 4.

Schließlich addieren wir die untere Gleichung zur oberen.

Und wir ziehen sie von der mittleren ab.

Im Zuge der Lösung haben wir mit den Gleichungen exakt dieselben Operationen durchgeführt wie in der Matrixform.

Die Matrixform ist jedoch viel klarer, daher lohnt es sich, diese Form zu verwenden.

Bald können wir allerdings beide Versionen in Rente schicken, da wir eine viel spitzenmäßigere dritte Version kennenlernen werden.

Die bisher verwendeten Methoden werden als Gaußsches Eliminationsverfahren bezeichnet. Was jetzt kommt, ist sozusagen der Super-Gauß.

Das Super-Gauß-Verfahren hat den Vorteil, dass es viel kürzer ist und man nichts falsch machen kann.

Sehen wir es uns einmal an.


Unendlich viele Lösungen, null Lösungen, Freiheitsgrad (Basistransformation)

Sehen wir uns jetzt zwei enorm spannende Gleichungssysteme an!

In diesem Gleichungssystem gibt es eigentlich nur zwei Gleichungen.

Die dritte ist nämlich die Summe der ersten beiden.

Nach diesem Schema könnte es genauso gut auch eine vierte, fünfte oder sogar sechste Gleichung geben.

Also gibt es nur zwei Gleichungen, und damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen. In einem solchen Fall hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Das reicht jetzt auch.

In diesem Gleichungssystem ist die dritte Gleichung wieder die Summe der ersten beiden, aber es gibt noch ein zusätzliches kleines Problem.

Die rechte Seite stimmt nicht, dort steht 6 statt 5.

In einem solchen Fall können natürlich nicht beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein. Das heißt, die Gleichungen widersprechen sich und das Gleichungssystem hat daher keine Lösung.

Wir haben also zwei Gleichungssysteme, und wir wissen bereits im Voraus, dass das eine unendlich viele Lösungen und das andere keine Lösung hat.

Wenn wir diese Gleichungssysteme der bewährten elementaren Basistransformation unterziehen, wird es spannend sein zu sehen, auf welche Weise sich zeigen wird, dass das eine System unendlich viele eine Lösungen hat und das andere gar keine.

Hier beginnen die Probleme.

können wir nicht herunterholen, da 0 als erzeugendes Element nicht zulässig ist.

Die Basistransformation endet also damit, dass eine -Zeile übrigbleibt.


Unendlich viele Lösungen, null Lösungen, Freiheitsgrad (Gauß)

Hier beginnen die Probleme.

können wir nicht herunterholen, da 0 als erzeugendes Element nicht zulässig ist.

Die Basistransformation endet also damit, dass eine -Zeile übrigbleibt.

In der untersten Zeile stehen links nur Nullen, daher gibt es hier kein Pivotelement.

WENN -ZEILEN ÜBRIGBLEIBEN, AUS DENEN WIR KEIN ERZEUGENDES ELEMENT WÄHLEN KÖNNEN, DANN GIBT ES ENTWEDER UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN ODER GAR KEINE LÖSUNG.

Wenn es Zeilen gibt, in denen links nur Nullen stehen, dann gibt es entweder UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN oder GAR KEINE LÖSUNG.

WENN DIE ÜBRIGGEBLIEBENE -ZEILE SO AUSSIEHT,

DANN GIBT ES UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN

x-Zeile

0

0

Wenn auch rechts eine Null steht, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

WENN DIE ÜBRIGGEBLIEBENE -ZEILE SO AUSSIEHT,

DANN GIBT ES KEINE LÖSUNG

x-Zeile

0

NICHT 0

Wenn rechts keine Null steht, dann gibt es keine Lösung.

UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN

Wenn links lauter Zeilen mit Nullen sind und auch rechts eine Null steht:

KEINE LÖSUNG

Wenn links lauter Zeilen mit Nullen sind, aber rechts keine Null steht:


Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen (Basistransformation)

Wir lesen die Lösung aus der Tabelle ab:

Die oben gebliebenen x sind sogenannte freie Variablen, die im weiteren Verlauf mit t, s usw. bezeichnet werden.

DIE LÖSUNG:

ALLGEMEINE LÖSUNG:

FREIHEITSGRADE = Anzahl der oben gebliebenen  

(der Freiheitsgrad ist jetzt 1)

RANG = Anzahl der , die heruntergeholt werden können

(der Rang ist jetzt 2)

Wir lesen die Lösung aus der Tabelle ab:

Hier gibt es nichts mehr zu tun.

Für welche Parameterwerte  und  hat das folgende Gleichungssystem null, eine bzw. unendlich viele Lösungen?


Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen (Gauß)

Ein parametrisches Gleichungssystem (Basistransformation)

Wir gehen den Parametern aus dem Weg, solange es geht.

Jetzt müssen wir ein bisschen nachdenken.

1. FALL  und

unendlich viele Lösungen

2. FALL  und

keine Lösung

3. FALL  und β = beliebig

 kann nach unten; es gibt eine Lösung

NEM0 = nicht 0

BÁRMI = beliebig

So, genug vom Nachdenken.

Für welche Parameterwerte ,  und  hat das folgende Gleichungssystem null, eine bzw. unendlich viele Lösungen?

So lange es geht, wählen wir kein erzeugendes Element aus einer Zeile oder Spalte, die einen Parameter enthält.

Diese 1 sieht gut aus, nehmen wir sie!


Ein parametrisches Gleichungssystem (Gauß)

Für welche Parameterwerte ,  und  hat das folgende Gleichungssystem null, eine bzw. unendlich viele Lösungen?

So lange es geht, wählen wir kein erzeugendes Element aus einer Zeile oder Spalte, die einen Parameter enthält.

Diese 1 sieht gut aus, nehmen wir sie!

Dann nehmen wir diese andere 1. Die Nullen sind ein echter Glücksfall.

Wegen der Null ziehen wir in dieser Zeile von jedem Element null ab, also bleibt die gesamte Zeile unverändert,

und hier auch,

und hier ebenfalls.

Deshalb ist es so toll, wenn man ein erzeugendes Element wählt, dessen Zeile bzw. Spalte viele Nullen enthält. Die Nullen machen uns das Leben leichter.

Hier gerät die Basistransformation ins Stocken, denn in der untersten Zeile sind lauter Nullen, und die Zeile darüber enthält Parameter.

Wir müssen jetzt kurz nachdenken.

1. FALL  

keine Lösung,  und   können beliebige Werte haben.

2. FALL  

keine Lösung,  und  können beliebige Werte haben.

3. FALL  und

dann kann  nach unten; es gibt unendlich viele Lösungen; Freiheitsgrad = 1

Eine Sache gibt es noch.

Wir wissen, dass es keine Lösung gibt, wenn hier nicht null steht.

Aber was hier steht, ist egal. Wenn es zum Beispiel  ist,

dann gibt es trotzdem eine Lösung.

Rang eines Vektorsystems berechnen


Ein noch schlimmeres parametrisches Gleichungssystem (Basistransformation)

Eine Sache gibt es noch.

Wir wissen, dass es keine Lösung gibt, wenn hier nicht null steht.

Aber was hier steht, ist egal. Wenn es zum Beispiel  ist,

dann gibt es trotzdem eine Lösung.

Vergessen wir also nicht, dass diese Bedingungen nur für -Zeilen gelten.

Das ist eine -Zeile, also gibt es hier wirklich keine Lösung.

In dieser Zeile aber steht x,

und so müssen keine Bedingungen erfüllt werden.

Berechnen wir den Rang eines Vektorsystems, das aus den Vektoren

 besteht. Bestimmen wir, ob aus ihnen die Vektoren  und  erzeugt werden können.

 bzw.  

Der Vektor  kann dann erzeugt werden, wenn es  gibt, für die

    bzw.  

Eigentlich sind das zwei Gleichungssysteme:

Diese müssen wir lösen. Wenn es eine Lösung gibt, kann der gesuchte Vektor erzeugt werden. Wenn es keine Lösung gibt, kann er nicht erzeugt werden.


Ein noch schlimmeres parametrisches Gleichungssystem (Gauß)

Diese müssen wir lösen. Wenn es eine Lösung gibt, kann der gesuchte Vektor erzeugt werden. Wenn es keine Lösung gibt, kann er nicht erzeugt werden.

Jetzt geht’s ans Lösen:

Es gibt eine Lösung,

also kann der Vektor  erzeugt werden.

Zum Beispiel

Jetzt kommt die gewohnte und wie immer hoch spannende Basistransformation.


Rang eines Vektorsystems berechnen (Basistransformation)

Jetzt kommt die gewohnte und wie immer hoch spannende Basistransformation.

Keine Lösung,

der Vektor  kann also nicht erzeugt werden.

Hier gerät unsere Basistransformation leider ins Stocken, denn in den -Zeilen gibt es nur noch Nullen.

In einem solchen Fall gibt es entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine.


Rang eines Vektorsystems berechnen (Gauß)

Hier gerät unsere Basistransformation leider ins Stocken, denn in den -Zeilen gibt es nur noch Nullen.

In einem solchen Fall gibt es entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine.

Wie kann nun der Vektor  erzeugt werden?

Die Lösung des Gleichungssystems lesen wir wie gewohnt ab.

 und  sind beliebig

Wenn zum Beispiel  und  null sind, dann

Der Rang des Vektorsystems entspricht der Anzahl der heruntergeholten x – hier also zwei.

     sind linear unabhängige Vektoren, und

Welchen Rang hat das Vektorsystem , und kann es den Vektor  erzeugen?

Der Vektor  kann dann erzeugt werden, wenn es  gibt, für die gilt:

Wir formen die rechte Seite so um, dass klar wird, wie viele es von den Vektoren      gibt.


Rang eines Vektorsystems und Erzeugbarkeit von Vektoren (Basistransformation)

Welchen Rang hat das Vektorsystem , und kann es den Vektor  erzeugen?

Der Vektor  kann dann erzeugt werden, wenn es  gibt, für die gilt:

Wir formen die rechte Seite so um, dass klar wird, wie viele es von den Vektoren      gibt.

Da      unabhängige Vektoren sind, gilt Folgendes: Wenn es auf der linken Seite ein Stück  gibt,

dann muss es auch auf der rechten Seite genau ein Stück davon geben,

und wenn es auf der linken Seite zwei  gibt, dann brauchen wir auch rechts genauso viel davon.

Wir lösen das.

Interessant dabei ist, dass diese Tabelle direkt aus der Aufgabenstellung abgeleitet werden kann.

Wir müssen nur noch zusammenzählen, wie viele , wie viele  und wie viele  es gibt.


Rang eines Vektorsystems und Erzeugbarkeit von Vektoren (Gauß)

Interessant dabei ist, dass diese Tabelle direkt aus der Aufgabenstellung abgeleitet werden kann.

Wir müssen nur noch zusammenzählen, wie viele , wie viele  und wie viele  es gibt.

Die Lösung:      

Und hier ist der Vektor :  

Und da wir alle drei x herunterholen konnten, hat das Vektorsystem den Rang 3.

Jetzt wenden wir uns einer weiteren spannenden Sache zu: der Invertierung von Matrizen.

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse) einer -Matrix  ist eine Matrix , für die gilt:

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, wenn wir also die Reihenfolge vertauschen, kann es sein, dass wir  mit einer ganz anderen Matrix multiplizieren müssen, um die Einheitsmatrix zu erhalten.

Beide Matrizen werden als Inverse bezeichnet:

hier ist  die Rechtsinverse

hier ist  die Linksinverse

-Matrizen haben die angenehme Eigenschaft, dass die Multiplikationsreihenfolge für die Inversenberechnung irrelevant ist, das heißt

Rechts- und Linksinverse sind also identisch.

Jetzt werden wir die Inversen einiger solcher -Matrizen berechnen. Diese Reihenfolge behalten wir bei.


Inverse einer quadratischen Matrix (Basistransformation)

-Matrizen haben die angenehme Eigenschaft, dass die Multiplikationsreihenfolge für die Inversenberechnung irrelevant ist, das heißt

Rechts- und Linksinverse sind also identisch.

Jetzt werden wir die Inversen einiger solcher -Matrizen berechnen. Diese Reihenfolge behalten wir bei.

Hier ist auch schon eine Matrix:

Versuchen wir, ihre Inverse zu berechnen.

Wir müssen eine Matrix finden, die mit der Originalmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Die Fragezeichen sind keine große Hilfe bei der Lösungssuche.

Wir könnten stattdessen Buchstaben vergeben, zum Beispiel a, b, c usw.

Oder wir könnten die üblichen Elementbezeichnungen nehmen:  und  und  usw.

Aber wir verwenden lieber eine andere Bezeichnung, und bald wird auch klar, warum.

Der Doppelindex ist zu kompliziert, also benutzen wir nur ,  und .

Und die Spalten halten wir durch Farben auseinander.

Das wäre also die inverse Matrix. Berechnen wir jetzt noch die Werte von ,  und

Dazu führen wir die Multiplikation durch.

Die Sache sieht etwas kompliziert aus, aber nur auf den ersten Blick.

Was auch immer die inverse Matrix ist: Ihre Elemente müssen diese drei Gleichungssysteme erfüllen.

Lösen wir sie also. Im Prinzip würden wir dafür drei separate Tabellen benötigen.

In Wirklichkeit genügt aber eine einzige Tabelle.


Inverse einer quadratischen Matrix (Gauß)

Dazu führen wir die Multiplikation durch.

Die Sache sieht etwas kompliziert aus, aber nur auf den ersten Blick.

Was auch immer die inverse Matrix ist: Ihre Elemente müssen diese drei Gleichungssysteme erfüllen.

Lösen wir sie also. Im Prinzip würden wir dafür drei separate Tabellen benötigen.

In Wirklichkeit genügt aber eine einzige Tabelle.

Wir lösen die drei Gleichungssysteme gleichzeitig mithilfe der üblichen Basistransformation.

Wir gehen die Schritte der Basistransformation jetzt nicht einzeln durch, denn alles läuft wie gewohnt ab. Sollten deine Erinnerungen an diese Methode schon etwas verblasst sein, kannst du sie gerne im Bereich Basistransformation auffrischen.

Die resultierende Lösung ist nichts anderes als die Inverse.

Wir müssen nur noch die Zeilen richtig zuordnen:


Die Inverse bei nicht quadratischen Matrizen (Basistransformation)

Die resultierende Lösung ist nichts anderes als die Inverse.

Wir müssen nur noch die Zeilen richtig zuordnen:

Die Berechnung der Inverse ist also wirklich supereinfach. Hier ist zum Beispiel diese Matrix:

Wir müssen nichts weiter tun als die Matrix in die gewohnte Tabelle einzutragen und daneben die Einheitsmatrix aufzuschreiben.

Dann kommt die Basistransformation. Wenn wir nicht alle x herunterholen können, existiert keine Inverse. Wenn alle heruntergeholt werden können, dann gibt es sie.

Es ist jetzt an der Zeit, auch für solche Matrizen die Inverse zu berechnen, die nicht die Form  haben.

In einem solchen Fall sind Links- und Rechtsinverse unterschiedlich.

 hier ist  die Rechtsinverse

 hier ist  die Linksinverse

Hier ist zum Beispiel diese Matrix:

Die Linksinverse hat die Form 3x2.

Die Rechtsinverse hat ebenfalls die Form 3x2.

Wir berechnen beide mithilfe der Basistransformation.

Leider gibt es hier ein kleines Problem.

eine Linksinverse

gibt es nicht

eine Rechtsinverse

schon


Die Inverse bei nicht quadratischen Matrizen (Gauß)

Die Linksinverse hat die Form 3x2.

Die Rechtsinverse hat ebenfalls die Form 3x2.

Wir berechnen beide mithilfe der Basistransformation.

Leider gibt es hier ein kleines Problem.

eine Linksinverse

gibt es nicht

eine Rechtsinverse

schon

Es bleibt eine -Zeile übrig, in der nicht alle Werte null sind. Somit gibt es keine Lösung.

Hier gibt es eine Lösung,

das oben gebliebene  nennen wir mal .